小学数学核心素养要素分析与界定反思

陈六一，刘晓萍

（1.苏州市阳山实验小学校，江苏 苏州 215151；2.苏州市教育科学研究院，江苏 苏州 215151）

一、引言

教育部印发的《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》中六次提到“核心素养”一词。这既体现着国际教育发展与变革的趋势，也承载着国家以教育增强核心竞争力的迫切性。然而，尽管《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）中四处出现了“数学素养”这一术语，可是其中以及《解读》都没有对数学素养的内涵与外延进行界定，导致小学数学素养的培养无法具体落实。为此，我们借课题研究之机，以文献分析、问卷分析和系统分析的方法，对小学数学素养的相关研究进行梳理，试图探讨：国内外专家对数学素养有着怎样的基本认识？基于文献和苏州地域小学数学教师的问卷，小学数学核心素养由哪些要素构成？小学数学核心素养的界定依据是什么？

二、国内外研究者对数学素养的基本认识

关于对数学素养的基本认识，这里梳理国内外文献资料的关注点在于：提出数学素养的起始阶段，学者们意向何在？随着时代的发展，专家们又有着怎样的解读？从起始到当代，国内外的研究大致分成了哪几种观点？

1.数学素养=先天素质+后天学习

我国曾在20世纪90年代提出“素质教育”理念，就数学方面落实在学生身上的要求便是数学素养。所以，有课题组对数学素养的解释是：以人的先天生理特点为基础，在后天的环境和数学教育影响下形成并发展的心理方面的稳定属性。[1]王子兴也有近似的诠释：数学素养是在人的先天生理基础上，通过后天严格的数学学习活动获得的、融于身心中的一种比较稳定的状态。[2]

2.数学素养=数学知识+基本能力

西澳大利亚州教育署则认为数学素养包括使用整数、分数、小数、百分数、钱数和测量时掌握基本数表的能力、运算的技能和对空间做出合理估算的习惯。在格罗瑟（Crowther）的报告中，数学素养具有两层含义：（1）对观察、假设、实验、验证等科学研究方法的理解；（2）现代社会定量思考和认识问题程度的需要。

以上两种观点，和我国提出的“双基”教学，即基础知识、基本能力的说法十分相近。在其内涵中数学的陈述性知识和程序性知识是学生在课堂中必须习得的内容。其实，西方数学教育历经“新数学运动”与“回到基础”的“钟摆”，就是对“双基”的重新认识。

3.数学素养=数学方法+关键能力

罗西澳提出数学素养的内涵为：进行推理、提出假设和下结论的能力。[3]也就是说，一定的数学方法和几项关键的能力，决定着学生对数学的领悟程度，决定着他们今后在生活中对数学的运用效度。正如著名的科克罗夫特报告——基于对英国研究了二十多年的数学素养内涵进行拓展认为，数学素养应该是运用数字和数学技能，懂得和理解诸如图表、曲线、百分比等数学语言所含信息的能力。这一论述成为20世纪80年代以后英国数学基础教育改革的出发点。美国数学教师协会也曾将“懂得数学的价值、对自己的数学技能有信心、有解决数学问题的能力、学会数学交流、学会数学的思想方法”[4]作为数学素养的内涵，并以此设定为美国数学课程与教学的中心。为中国教育界所熟知的PISA，在2012年的测试中对数学素养直接给出了“方法+能力”的表述：个体能在各种情况下形成、使用和解释数学的能力，包括数学推理等，来描述、解释以及预测现象。[5]

回到国内，蔡上鹤先生作为《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用)》的重要起草成员，自1992年10月开始，连续发文，提出“数学素养包括数学知识技能素养、逻辑思维素养、运用数学素养和唯物辩证素养”。

可见，中外研究者都将“素养”与“素质”聚焦到了数学方法和推理等逻辑思维能力上，这样在课堂实践中，一线教师也就有了教学的抓手。

4.数学素养=数学价值+数学行为

“在数学学习过程中，学习者通过数学学习，加深对数学知识的理解，内化数学文化的成果，最终在学习者身上体现的一种时代价值，同时能够主动将数学理论应用于生产生活实践。”[6]这是郑强教授对数学素养的解读。何小亚分析数学素养的构成要素为：数学运算、数学推理、数学意识、数学思想方法和数学情感态度价值观。[7]康世刚教授、宋乃庆教授联合发文指出：数学素养指学生在已有数学经验的基础上，通过数学活动对数学的体验、感悟和反思，并在真实情景中表现出来的一种综合性特征。广义上讲是一种综合性特征，狭义上讲，是指在真实情境中有意识地应用数学知识与技能理性地处理问题的行为特征。[8]最近几年，我国一些从事大学数学师范教育的课程论、方法论的教授，开始自觉按照《课程标准》的要求，将数学素养建构在情感态度与价值观的维度之上。

三、小学数学核心素养的要素构成

从上述国内外的研究成果分析可见，尽管对于“什么是数学素养”还没有一个统一的界定，但各国都强调数学素养的重要性，也潜在地具有一些共识：数学素养唯有通过数学学习才能习得，是不同于其他学科学习的收获，是数学学习独特的结晶。而据数学家波利亚研究：仅有1%的学生今后可能会成为专门的数学研究者，29%的学生将来会继续使用数学，70%的学生离开学校后不会再使用小学以上的数学知识。[9]这也要求，通过小学数学的学习，必须习得一定的数学素养，方能立足于未来。当然，这样的数学素养由于要伴随人的一生，一定得是基础的；而且是人人必需的，所以具有普遍性；还要通过数学，通向生命成长，所以这样的素养也务必具有高度关联性。据此说来，小学数学核心素养指的是：通过小学阶段的数学学习，为了满足自身发展和社会发展，所必备的数学思维与数学文化。

对于这样的数学思维与数学文化，为了厘清其中可教、可学、可测评、可分学段阐述的特质，我们又对苏州1386名小学数学教师，就小学数学核心素养的相关知识进行了问卷分析。最终推断出小学数学核心素养的构成要素为：数学人文、数学意识、数学思想。

这样推断的依据是什么呢？《课程标准》提出了义务教育阶段数学学习的总目标是：第一，学生能获得社会生活和进一步学习所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；第二，体会数学与生活之间的联系，会运用数学的思维方式进行思考……增强解决问题的能力；第三，了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。并将总目标分解成“知识技能”“数学思考”“问题解决”和“情感态度”四个方面。对照《课程标准》的总目标，将其第一条分解出“数学思想”，剩下的“三基”加上第二条和“知识技能”“数学思考”“问题解决”三个方面归结为“数学意识”，其第三条和“情感态度”方面概括为“数学人文”。

爱因斯坦曾有一句著名的教育论断：“所谓教育，就是一个人把在学校所学全部忘光后剩下的东西。”那么通过小学数学，给学生积淀终身受用并渗透进日常生活的即是：用数学意识与数学思想解释世界，而解释世界的数学思维离不开数学人文的激活与提升。因此，数学人文、数学意识、数学思想构成了小学数学素养的核心所在。

我们此次的问卷，苏州下辖区县的小学数学教师都有参与，可谓覆盖面广泛。其中城镇学校76.19%，农村学校23.81%；男教师24.89%，女教师75.11%。同时，为了听见不同的声音，问卷的层面也比较宽泛：特级教师占0.14%，市级骨干教师占3.61%，区县级骨干占20.20%，校级骨干占12.99%，一线教师占69.46%，校长、教导主任占4.55%。当然，有不少教师的身份是交叉的。这些不同的身份群体，对小学数学核心素养却有着大致相当的认识：数学的本质是数学思想，数学的动力是数学人文，数学的基点是数学意识。

数学人文：意指对数学的持久兴趣与好奇，对数学美有追求，会用数学交流。其关注点是动机、审美、表达。具体地说就是学生愿学数学；脑海中经常性构建数学问题；知道数学学习的过程会遇见困难，但不逃避数学困难；懂得欣赏数学结构的真与美；懂得数学简洁、缜密，乃至答案唯一、规则统一的价值；喜欢数学阅读，会用数学语言交流与写作。

数学意识：包含数学运算，空间观念，符号意识，解决问题的策略。其关注点是学会、基础、方法。具体地说就是学生会从数学的角度解释生活，也会从数学本身解构数学；有属于自己的良好的解释与解构的方式；能运用数学的本质拓展智力边界。

数学思想：涵盖抽象、推理、建模三种数学思想。其关注点是会学、理性、智慧。具体地说就是学生在愿学的基础上，在数学思想的引领下，提升思维品质，提高数学学习的效能，成为会学数学的学生。即能把较为复杂的数学问题，通过合情推理，转化为熟知的数学知识；能把较为复杂的生活情境，抽象为数学问题，再运用数学的模型予以解决。

这些小学数学核心素养还可以再做分解，二级指标如表1。

经常听到教师们说课堂只有激发了学生的学习兴趣，学生才有可能深入地去学习数学。这种说法只对了一半，其实学生求学伊始，大多都对数学充满着兴趣，因为人总有对未知好奇的心理。只是，随着枯燥的训练、乏味的讲解，随着年级的升高，越来越多的学生不喜欢数学了，于是教师不得不想尽招数刺激学生爱数学。[10]所以兴趣既是小学数学学习的手段，也是目的。再者，回顾数学史，数学起源于生活生产、宗教仪式、数学欣赏。[11]这启示我们除了生活应用，数学的形式美是学生继续求知的不竭动机。同时，语言不仅是思维的外壳，也是小学生展示数学理解数学成功的心理需求。基于此，提出了数学人文的二级指标含有：对数学的持久兴趣与好奇、对数学美有追求、会用数学交流。

及至数学意识，基于上文所述，日常生活生产的需要诞生了数学，而且数学的发展得益于生活应用，自然小学生学会数学的显著标志无疑是能运用数学知识解决生活问题。要想成功解决生活问题，小学生需要不断提高数学运算、几何空间与符号图式的水平，《课程标准》亦是把“符号意识”“空间观念”“运算能力”作为核心词并行列出；同时，也只有在解决问题的过程中，调整、反思、积累属于学生自己的如佛赖登塔尔所云的数学“再创造”“数学化”方臻于形成。

“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学精神、数学思想等，却随时随地发生作用，使他们终身受益。”[12]米山国藏的这段关于“数学思想”的阐释，颇深入人心更流传甚广。史宁中先生也认为，“数学思想是数学文化的核心，因为数学文化是数学的形态表现，可以包括：数学形式、数学历史、数学思想。其中思想是本质的，没有思想就没有文化。数学思想可以归纳为三种：抽象、推理和模型”[13]。的确，通过抽象，把外部世界与数学有关的东西概括到数学内部，形成数学研究的对象；通过推理，得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展；通过建模，创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁。参照两位数学教育大家的思考，便在“数学思想”要素中以“抽象”“推理”“建模”作为二级指标，这样可指导课堂教学评价，也可考查学生通过数学学习，达标程度如何。

表1 小学数学核心素养二级指标表

四、小学数学核心素养的界定反思

数学核心素养不能用“素养+数学例子”来定义，也不是“数学知识、数学技能、关键能力、情感态度”中某几项的简单相加。小学数学核心素养具有基础性、普遍性和高度关联性，因此它不是要求围绕一个或者两个方面的能力进行培养，而是要协调、综合、均衡发展，从而帮助“小学生”这个特定年龄段的儿童，能够满足未来生活与学习对数学的挑战和新的超越。所以对小学数学核心素养的界定，既要注重核心素养的生成过程，又要注重核心素养的外显，强调在真实情景中的表现，体现《课程标准》中课程目标的要求。前文的要素构成分析大致做到了这一点，如图1所示。

当然，为了更全面地理解小学数学核心素养，须尤其注意核心素养测试题的编制与教学策略的不断探索。

第一，编制符合基于地域的小学数学核心素养测试题。尽管PISA的数学评价测试题给了我们很高的参考价值，但大多题目并不符合我们的教学实际。也尽管在各级各类的考试中，出现了开放题、探究性问题，但是这些题型对测试小学数学核心素养的哪些方面，缺乏系统的实证研究。

图1 小学数学核心素养动态示意图

第二，探索小学数学核心素养生成的教学策略。当前，国内外对数学素养研究的聚焦层面都不尽相同，而且对于影响小学生核心素养的教学因素没有深入分析，因此，探索小学数学核心素养生成的教学策略，有助于促进教学方式的改进。

郑毓信教授曾提醒：“如果缺乏足够自觉的话，数学固有的特性可能在各个方面导致消极的后果，包括研究思想、学术态度乃至人生哲学等。”[14]所以数学核心素养的积淀，不是“对”和“错”的取舍，而是可能会出现“好”与“坏”的利弊。那么在教学实践中，既应当明晰小学数学核心素养对小学生成长的助力，也应当清醒地看到，如果只强调核心素养，可能会忽视人的全面发展过程中需要的非核心素养，但这个非核心素养对于某个具体的学生，又有可能是必需的，或者说是适切的。▲

参考文献：

[1]连云港市“MA”课题组.“发展学生数学思想，提高学生数学素养”教学实验研究报告[J].课程·教材·教法，1997（8）：35-39.

[2]王子兴.论数学素养[J].数学通报，2002（1）：6.

[3]陆昱任.论数学素养之意涵及小学阶段评量工具之开发[D]：[硕士学位论文].台北：台湾师范大学，2004.

[4]National Council of Teachers of Mathematics.Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics[M].Reston,VA:Author,1989.

[5]Organisation for Economic Co-operation and Development.PISA 2012 Assessment and Analytical Framework:Mathematics,Reading,Science,Problem Solving and Financial Literacy[M].OECD Publishing,2013：264.

[6]郑强.论数学素养及其在数学课程中的价值体现[J].曲阜师范大学学报，2005（2）：127.

[7]何小亚.学生“数学素养”指标的理论分析[J].数学教育学报，2015（2）：13-20.

[8]康世刚，宋乃庆.论数学素养的内涵及特征[J].数学通报，2015（3）：8-12.

[9]冯契.哲学大辞典（修订本）[M].上海：上海辞书出版社，2001：818.

[10]陈六一.为什么学生越来越不爱学习数学了[J].中小学数学，2008（12）：24-25.

[11]卡尔·B·博耶.数学史[M].秦传安，译.北京：中央编译出版社，2013：3-8.

[12]米山国藏.数学的精神思想和方法[M].毛正中，吴素华，译.成都：四川教育出版社，1986：10.

[13]史宁中.数学的基本思想[J].数学通报，2011（1）：1-3.

[14]郑毓信.数学教育哲学的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社，2008：40.