通过一题多解体会点到平面距离的求法

王海伴

在高考中计算点到平面的距离，是高频考点之一，题目灵活性、综合性较强，常常给学生造成困难，本文通过一题目多解介绍点到平面的距离的求法，供参考.

问题：（2015年广东卷文第18题）如图1，△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，求点C到平面PAD的距离.

一、辅助截面法

分析：取DC中点M，连接PM，由PD=PC，得PM⊥DC，又平面PDC⊥面ABCD，易知PM⊥面ABCD，所以PM⊥AD，而AD⊥DC，则AD⊥面PDC，又AD？奂面ABCD，故面PCD⊥面PAD.

三、利用线面、面面平行的性质

分析：如图4，由直线BC∥面PAD，得点C到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离.下面求点B到平面PAD的距离即可.

评注：本题在求点到平面的距离时，发现过点C存在一条直线BC∥面APD于是考虑到将原图补为直四棱柱，线面平行的性质，使问题得到了顺利解决.虽然这一做法在这道题目中显得极为繁琐，但是利用线面、面面平行的性质求点到平面的距离是一类重要的方法，在高考备考中应引起重视.

总之，通过上述问题解决可以看出，在空间几何中求点到平面的距离时，若直接作高存在困难，则可以考虑等体积完成，利用等体积也很难完成时，可考虑辅助截面法直接作点到平面的距离或利用线面、面面平行的性质完成，当然，空间向量法虽然解决问题比较繁琐，但对思维要求层次较低，容易掌握.