紧扣比值定义 选择斜率解法

武长青

界定“线性元件和非线性元件”的标准是“元件的伏安特性曲线是否是通过坐标原点的直线”.无论是否为线性元件，电阻都按R=U/I计算，只有在线性电阻中才能用R=ΔU/ΔI.在伏安特性曲线上，电阻的倒数一定等于线上各点与原点连线的斜率，只有在线性元件中曲线的切线的斜率才等于电阻的倒数，非线性元件中曲线的切线的斜率没有意义.

1问题的提出

伏安特性曲线中如何求电阻？怎样判断电阻的变化？

例题1某导体中的电流随其两端的电压变化，如图1实线所示，则下列说法中正确的是

A.加5 V电压时，导体的电阻是5 Ω

B.加12 V电压时，导体的电阻是8 Ω

C.由图可知，随着电压增大，导体的电阻不断减小

D.由图可知，随着电压减小，导体的电阻不断减小

实际教学过程中，学生解答中存在以下的问题：不选A和B，选择D.但部分学生选择D的解法是看伏安特性曲线的切线，切线越来越平缓，电阻越来越大.

出现以上的解法其实是源于同一思维点：“求伏安特性曲线的切线”出发.因无法求5 V、12 V时的切线所以不选A、B，对应着D答案，学生认为R=1/K，切线斜率减小，电阻值增大.这样的解法对吗？伏安特性曲线切线的斜率是电阻的倒数吗？

2紧扣定义确定正解

欧姆定律告诉我们，对于金属和电介质导电时I=U/R.变形可得R=U/I，即电阻阻值应是统一状态下电压和电流的比值.根据这样的比值定义，求出5 V时的电阻是R=5 Ω，12 V时的电阻是R=8 Ω.随着电压的增大线上各点对应的电压与电流的比值不断增大，因此电阻值增大.

3虚构模型剖析错解

学生为何会按“求伏安特性曲线的切线”的思路求解呢？这要从线性元件的伏安特性的理解上寻找根源.由于线性元件的伏安特性曲线的斜率的倒数等于线性元件的电阻.学生将“斜率”的定义进行“自然”迁移，理解成曲线斜率的倒数就是阻值的大小.同时也将线性元件的“线性”这一概念扩大成数学中的线性函数的“线性”.

数学中，线性（linear），指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数.由赵凯华、陈熙谋编写的高等教育出版社出版的高等学校教材《电磁学》第二版对“线性元件和非线性元件”是这样描述的：以电压U为横坐标、电流强度I为纵坐标画出的曲线，叫做该导体的伏安特性.欧姆定律成立时，伏安特性是一条通过坐标原点的直线，其斜率等于电阻R的倒数，它是一个与电压、电流无关的常量.具有这种性质的电学元件叫做线性元件，可得到界定“线性元件和非线性元件”的标准是“元件的伏安特性曲线是否是通过坐标原点的直线”.

我们可以虚构以下的模型引导学生区别数学“线性”与物理“线性元件”中线性的不同.若某一元件的伏安特性如图2所示，那么该元件是线性元件吗？其阻值随着电压的增大是否改变？

从数学的认识角度出发，此图线为线性图线.认真对照线性元件的定义可知，该元件不是线性元件.

4对比分析深化理解

学生为何会将“斜率”的定义进行“自然”迁移？从授课的过程看：线性元件的伏安特性曲线是过原点的倾斜的直线，1R=k=IU，也能表达成1R=I1U1=I2U2=ΔIΔU=k.在此学生就开始知识迁移.实际上在非线性元件中，1R=I1U1≠I2U2≠ΔIΔU，即对应着（I1，U1）和（I2，U2）的电阻值并不相等.1R不能写成ΔIΔU，不能看成伏安特性曲线上该点切线的斜率，应是某点与坐标原点连线的斜率.

如图3所示，在第一个问题中当电压增大时，k2

说得再直接一点：无论是否为线性元件，电阻都按R=U/I计算，只有在线性电阻中才能用R=ΔU/ΔI.在伏安特性曲线上，电阻的倒数一定等于线上各点与原点连线的斜率，只有在线性元件中曲线的切线的斜率才等于电阻的倒数，非线性元件中曲线的切线的斜率没有意义.

从学生已掌握的知识看，显然与a=ΔvΔt进行了类比迁移.这其实是个错误迁移.加速度定义为△v与△t的比值.无论加速度是否恒定都是两者的比值.而电阻则是电压与电流的比值.在阻值不变的前提下，可以根据等比定理写成ΔUΔI，但这并不是电阻的定义式.

我们可以用这样的方法类比分析.在如图4所示的弹簧弹力和形变量的关系图线中，劲度系数是F与x的比值，因此实线表示随着弹簧伸长量的增大，弹簧的劲度系数先不变后减小（劲度系数应等于线上各点与原点的连线的斜率）.同样，在如

图5所示的P-T图像中，虽然实线是一条倾斜的直线，但一定质量的同种气体并非做等容变化，而是体积不断减小（体积应等于线上各点与原点的连线的斜率的倒数）.在如图6所示的动量-时间图像中图线上任一点切线的斜率等于该时刻物体所受的合外力（F=ΔPΔt），随时间增加合外力减小.在如图7所示的速度-时间图像中物体的加速度保持不变（a=ΔvΔt）.

同为“线性”，我们应能在数学、物理范畴内区别理解.必须明确同为求斜率，是“某点与坐标原点的连线的斜率”还是“图线上某点切线的斜率”，我们应根据具体的比值定义内容选择正确、合理的解决方法.