基于超网络的超拉普拉斯矩阵研究

2016-05-26张晓转同济大学上海201804

山东工业技术 2016年2期

张晓转（同济大学,上海 201804）

基于超网络的超拉普拉斯矩阵研究

张晓转
（同济大学,上海 201804）

摘要：这篇文章研究了如何用超拉普拉斯矩阵描述超复杂网络，并且研究了其对应的特征值谱。关键词：超网络；超拉普拉斯矩阵；同步性

近年来关于网络的研究在各个方面都越来越复杂，不论是从拓扑结构的复杂性，还是从研究角度的多样性来说。超网络[1]被不同的研究学者们称为多层网络，独立网络的网络，统一性的缺乏揭示了关于这个研究课题研究的多样性。另一方面，基于超复杂网络的多智能体系统的同步性也引起了很多学者的兴趣，不论是离散有向网络还是离散无向网络，关于连续网络的研究也有一些。

1 研究现状以及构造超拉普拉斯矩阵

1.1 研究现状

使用G=(V,î,A) 来描述超复杂网络，含义是该网络包含V={1,2,…,N}描述的N个节点，î=V×V描述N个节点之间的连边，A=aij∈RN×N称为邻接矩阵，矩阵的每一个元素代表节点i和节点j的连接情况。节点的度即为该节点与另外几个节点相连，不允许自环。强度矩阵是 S=diag(s1,…,sN)，由相应节点的度组成的对角阵。一般网络的拉普拉斯矩阵由L=S-A表示。无向网络的拉普拉斯矩阵具有如下几个性质：行列之和为0；具有一组从小到大排列形如λ1=0,λ2,…,λN的特征值。对于每一层有相同节点个数的超网络，有很多相关研究[1,2,3,5],然而对于每层节点个数不同的网络，相关研究极少。这是可以理解的，因为节点个数相同时，数学形式一致，便于推导出整齐的结果。然而事实上大多数实际问题的模型每层节点个数都不相同，因此本文基于此假设推导出多层网络的超拉普拉斯矩阵。为了简化问题并且不失一般性，假设网络由两层构成，每层有不同的节点个数。

1.2 超拉普拉斯矩阵构造

进一步简化参数，我们假设D1=D2=1，并且D12=Dx，于是得到如下形式：

1.3 超拉普拉斯矩阵值谱研究

由以下两种特殊情况，可以得到超拉普拉斯矩阵的两个特征值以及对应的特征向量：

情况一： x=(1,…,1),

情况二：如上推导，可得x=（1…1,0,,,0|-1,-1,0…0），其中1与-1的个数为层间相连节点的个数。