Cauchy-Drygas型函数方程的Ulam稳定性

宋爱民

(甘肃民族师范学院 数学系, 甘南 甘肃 747000)

Cauchy-Drygas型函数方程的Ulam稳定性

宋爱民

(甘肃民族师范学院 数学系, 甘南 甘肃 747000)

给出Cauchy-Drygas型函数方程f(x1+x2,y1+y2)+f(x1+x2,y1-y2)=2f(x1,y1)+2f(x2,y1)+f(x1,y2)+f(x2,y2)+f(x1,-y2)+f(x2,-y2)的定义,并得到其一般解,同时,进一步讨论Cauchy-Drygas型函数方程与混合二次-三次函数方程的关系,并在Banach空间及模糊赋范空间上讨论它的Ulam稳定性.

Cauchy-Drygas型函数方程; Banach空间; 模糊赋范空间; Ulam稳定性

1 问题的提出

对于一个给定的算子T,及T的一个解集{μ}满足T(μ)=0,考虑若存在ε>0满足‖T(υ)‖≤ε,则是否存在μ及δ>0使得‖μ-υ‖≤δ(ε)成立.这一问题首先由S. M. Ulam[1]提出,所以也称之为函数方程的Ulam稳定性问题.D. H. Hyers[2]解决了Banach空间中近似Cauchy映射的Ulam稳定性问题.Th. M. Rassias[3]将这种稳定性推广到广义Hyers-Ulam-Rassias稳定性.后来人们研究了各种映射的Ulam稳定性如文献[4-9].

始终设X和Y表示实向量空间.称映射f:X→Y为Cauchy映射(或可加映射),若其满足下列函数方程

f(x+y)=f(x)+f(y),

(1)

称映射f:X→Y为Drygas映射,若其满足函数方程

f(x+y)+f(x-y)=

2f(x)+f(y)+f(-y),

(2)

Drygas函数方程是H.Drygas[10]为了描述拟内积空间而引入的函数方程,对于解决一些统计学上的问题起到过非常重要的作用.B. R. Ebanks[11]进一步等给出了Drygas函数方程的一般解.

引理 1.1 映射f:X→Y满足Drygas函数方程当且仅当存在一个可加映射A:X→Y及一个对称,双可加的映射H:X2→Y,使得对任意的x∈X都有f(x)=H(x,x)+A(x).

证明 必要性 见文献[11].

充分性 若f:X→Y满足条件,则对∀x,y∈X有

f(x+y)+f(x-y)-2f(x)-f(y)-f(-y)=

H(x+y,x+y)+H(x-y,x-y)-

2H(x,x)-H(y,y)-H(-y,-y)+

A(x+y)+A(x-y)-

2A(x)-A(y)-A(-y)=0,

从而充分性得证.事实上,

I.S.Chang等[12]给出了混合二次-三次方程

6f(x+y)-6f(x-y)+4f(3y)=

3f(x+2y)-3f(x-2y)+9f(2y)

(3)

在Banach空间的稳定性并得到其一般解.

引理 1.2 映射f:X→Y满足混合二次-三次函数方程当且仅当存在1个二元对称,可加映射Q:X2→Y及1个三元对称,可加的映射C:X3→Y,使得对任意的x∈X都有

f(x)=Q(x,x)+C(x,x,x).

事实上,此处

近年人们开始研究多元函数方程的稳定性，如M.E.Gordji等[13]讨论了三次-四次函数方程的Ulam稳定性；N. Abbas等[14]讨论了多元混合函数方程在Banach模上的稳定性;Y. J. Cho等[15]讨论了混合可加-三次-四次函数方程在随机非阿基米德空间的稳定性.

本文在上述研究的基础上,定义了Cauchy-Drygas型函数方程,并得到了它的一般解及其与混合二次-三次函数方程的关系,最后讨论了其在Banach空间以及模糊赋范空间上的Ulam稳定性.

定义 1.3 映射f:X2→Y称为Cauchy-Drygas型函数是指任给x1,x2,y1,y2∈X都满足下列混合Cauchy-Drygas型函数方程:

f(x1+x2,y1+y2)+f(x1+x2,y1-y2)=

2f(x1,y1)+2f(x2,y1)+f(x1,y2)+

f(x2,y2)+f(x1,-y2)+f(x2,-y2).

(4)

2 函数方程(4)的一般解及其与(3)的关系

引理 2.1 映射f:X2→Y满足方程(4)当且仅当f关于第一个变元是Cauchy的,关于第二个变元是Drygas的.即对任意的x1,x2,y1,y2都有

f(x1+x2,y)=f(x1,y)+f(x2,y),

f(x,y1+y2)+f(x,y1-y2)=

2f(x,y1)+f(x,y2)+f(x,-y2).

证明 充分性 显然.下证必要性

必要性 设f:X2→Y满足方程(4),在方程(4)中令x1=x2=y1=y2=0,显然有f(0,0)=0;在方程(4)中令x2=y1=y2=0,显然有f(x1,0)=0;在方程(4)中令y2=0,则有2f(x1+x2,y1)=2f(x1,y1)+2f(x2,y1),即f(x1+x2,y1)=f(x1,y1)+f(x2,y1),从而f关于第一个变元是Cauchy(可加)的.

在方程(4)中令x1=x2=y2=0,可得f(0,y1)=0;在方程(4)中令x2=0,则有f(x1,y1+y2)+f(x1,y1-y2)=2f(x1,y1)+f(x1,y2)+f(x1,-y2),从而f关于第二个变元是Drygas的.

定理 1.2 映射f:X2→Y满足方程(4)当且仅当存在一个三元映射F:X3→Y及一个二元映射B:X2→Y,其中F关于第一个变量可加,关于后两个变量对称,可加;B关于2个变量分别可加，且满足f(x,y)=F(x,y,y)+B(x,y).

证明 必要性 设f满足方程(4),定义映射F:X3→Y,B:X2→Y,对∀x1,y1,y2∈X令

F(x1,y1,y2)=

显然，由f关于第一个变元是Cauchy的,固定y1,y2,则F关于第一个变量显然是可加的;又由引理1.1中关于H的定义可知,F关于后两个变量是对称,可加的.类似的由f关于第一个变元是Cauchy的,固定y1,则B关于第一个变量显然是可加的;由引理1.1中关于A的定义可知,B关于第二个变量是可加的，且

f(x,y)+f(x,y)-f(x,-y)]=

由于f关于第二个变元是Drygas的,从而f(x,2y)=2f(x,y)+f(x,y)+f(x,-y),也即F(x,y,y)+B(x,y)=f(x,y),必要性得证.

充分性 若存在满足条件的映射F:X3→Y,B:X2→Y则由f(x,y)=F(x,y,y)+B(x,y),固定y,则F关于第一个变量可加,B关于第一个变量可加,从而f关于第一个变元是Cauchy的.固定x,则F关于后2个变量对称,可加,B关于后一个变量可加,由引理1.1,f关于第二个变元是Drygas的,定理得证.

推论 2.3 设f:X2→Y是Cauchy-Drygas的,定义g:X→Y,g(x)=f(x,x),则g为混合二次-三次函数.

证明 由定理2.2,存在一个三元映射F:X3→Y及一个二元映射B:X2→Y,其中F关于第一个变量可加,关于后2个变量对称,可加;B关于第一个变量可加,关于第二个变量可加,且满足

f(x,y)=F(x,y,y)+B(x,y).

不难看出,Q(x,x)=B(x,x),C(x,x,x)=F(x,x,x),从而g(x)=f(x,x)=B(x,x)+F(x,x,x)=Q(x,x)+C(x,x,x).显然g满足引理1.2的条件,从而g为混合二次-三次函数.

推论 2.4 设映射g:X→Y为混合二次-三次函数,定义映射f:X2→Y满足

2[g(2y-x)+g(-2y+x)]+

2[g(2x+y)+g(-2x-y)]+

2[g(2x-y)+g(-2x+y)]-

5[g(x+y)+g(-x-y)]-

g(-2y-x)]-[g(2y-x)-g(-2y+x)]-

[g(x+y)-g(-x-y)]+

[g(y-x)-g(-y+x)]}.

则f为Drygas-二次函数,且有g(x)=f(x,x).

Q(2y+x,2y+x)+Q(2y-x,2y-x)=

Q(x,x)+4Q(y,y)+4Q(x,y),

从而显然有

Q(2x+y,2x+y)+Q(2x-y,2x-y)=

4Q(x,x)+Q(y,y)+4Q(x,y),

又

Q(y+x,y+x)+Q(y-x,y-x)=

2Q(y,y)+2Q(x,x).

综合上面3式有

2[g(2y-x)+g(-2y+x)]+

2[g(2x+y)+g(-2x-y)]+

2[g(2x-y)+g(-2x+y)]-

5[g(x+y)+g(-x-y)]-

5[g(y-x)+g(-y+x)]}

又因为

C(2y+x,2y+x,2y+x)-

C(2y-x,2y-x,2y-x)=

24C(x,y,y)+2C(x,x,y);

C(y+x,y+x,y+x)-C(y-x,y-x,y-x)=

6C(x,y,y)+2C(x,x,y).

综合上面2式有

[g(2y-x)-g(-2y+x)]-

[g(x+y)-g(-x-y)]+

[g(y-x)-g(-y+x)]}.

从而

2[g(2y-x)+g(-2y+x)]+

2[g(2x+y)+g(-2x-y)]+

2[g(2x-y)+g(-2x+y)]-

5[g(x+y)+g(-x-y)]-

g(-2y-x)]-[g(2y-x)-g(-2y+x)]-

[g(x+y)-g(-x-y)]+

[g(y-x)-g(-y+x)]}=

Q(x,y)+C(x,y,y).

进而由定理2.2可知,f为Cauchy-Drygas的,显然有g(x)=f(x,x),定理得证.

在下面的证明过程中,对于映射f:X2→Y,算子Df:X4→Y,记

Df(x1,x2,y1,y2)=f(x1+x2,y1+y2)+

f(x1+x2,y1-y2)-2f(x1,y1)-2f(x2,y1)-

f(x1,y2)-f(x2,y2)-

f(x1,-y2)-f(x2,-y2),

显然f是Cauchy-Drygas的当且仅当∀x1,x2,y1,y2∈X,Df(x1,x2,y1,y2)=0.3 函数方程(4)在Banach空间上的Ulam稳定性

本节始终设X是实的向量空间,Y是Banach空间.

定理 3.1 给定函数φ:X4→[0,+∞)满足对任意的x1,x2,y1,y2∈X都有

Φ(x1,x2,y1,y2)=

φ(2nx1,2nx2,-2ny1,-2ny2)]<∞.

(5)

如果映射f:X2→Y满足对任意x1,x2,y1,y2∈X都有

‖Df(x1,x2,y1,y2)‖≤φ(x1,x2,y1,y2),

(6)

且当x=0或y=0时有f(x,y)=0,则存在满足函数方程(4)的Cauchy-Drygas型函数C:X2→Y,使得对任意x,y∈X有

‖C(x,y)-f(x,y)-f(x,-y)‖≤

Φ(x,x,y,y).

(7)

证明 由(6)式显然可得

‖Df(x1,x2,y1,y2)+Df(x1,x2,-y1,-y2)‖≤

φ(x1,x2,y1,y2)+φ(x1,x2,-y1,-y2).

(8)

在(8)式中,令x1=x2=x,y1=y2=y,有

‖f(2x,2y)+f(2x,-2y)-

8f(x,y)-8f(x,-y)‖≤

φ(x,x,y,y)+φ(x,x,-y,-y),

在上式中用2nx代替x,2ny代替y,且两边同除以8n+1,则有

φ(2nx,2nx,-2ny,-2ny),

(9)

从而对任给正整数m

φ(2ix,2ix,-2iy,-2iy)],

在(6)式中用2nxi代替xi,用2nyi代替yi,则有

‖DC(x1,x2,y1,y2)‖=

Df(2nx1,2nx2,-2ny1,-2ny2)‖≤

φ(2nx1,2nx2,-2ny1,-2ny2)]=0,

从而可得DC(x1,x2,y1,y2)=0,也就是说C是Cauchy-Drygas的.

在(9)式中令m=0,n→∞,则有

‖C(x,y)-f(x,y)-f(x,-y)‖≤Φ(x,x,y,y),

(7)式得证.

4 方程(4)在模糊赋范空间的Ulam稳定性

本节始终设X为线性空间,Y是一个模糊Banach空间.

定理 4.1 设(Z,N′)为模糊赋范空间,映射φ:X4→Z满足存在实数α,其中0<|α|<8,使得对∀x1,x2,y1,y2∈X,t>0都有

φ(2x1,2x2,2y1,2y2)=

αφ(x1,x2,y1,y2),

(10)

映射f:X2→Y满足对任意的x1,x2,y1,y2∈X,t>0都有

N(Df(x1,x2,y1,y2),t)≥

N′(φ(x1,x2,y1,y2),t),

(11)

且当x=0或y=0时有f(x,y)=0,则存在Cauchy-Drygas型函数C:X2→Y,使得对任意x,y∈X有

N(C(x,y)-f(x,y)-f(x,-y),t)≥

(12)

其中M((x,y),t)=min{N′(φ(x,x,y,y),t),N′(φ(x,x,-y,-y),t)}.

证明 不失一般性,此处设0<α<8,由(11)式,显然可得

N(Df(x1,x2,y1,y2)+Df(x1,x2,-y1,-y2),2t)≥

min{N′(φ(x1,x2,y1,y2),t),

N′(φ(x1,x2,-y1,-y2),t)}.

(13)

在(13)式中令x1=x2=x,y1=y2=y,从而

N(Df(x,x,y,y)+Df(x,x,-y,-y),2t)≥

min{N′(φ(x,x,y,y),t),N′(φ(x,x,-y,-y),t)},

也即

N(f(2x,2y)+f(2x,-2y)-

8f(x,y)-8f(x,-y),2t)≥min{N′(φ(x,x,y,y),t),N′(φ(x,x,-y,-y),t)}.

在上式中,用2nx代替x,2ny代替y,则有

min{N′(φ(2nx,2nx,2ny,2ny),t),

N′(φ(2nx,2nx,-2ny,-2ny),t)}=

min{N′(αnφ(x,x,y,y),t),

进一步有

从而对任给正整数m

从而有

(14)

在(13)式中用2nxi代替xi,用2nyi代替yi,这里i=1,2,则有

min{N′(φ(2nx1,2nx2,2ny1,2ny2),t),

从而

DC(x1,x2,y1,y2)=0,

即C为Cauchy-Drygas的.在(14)式中令m=0,n→∞,可得

N(C(x,y)-f(x,y)-f(x,-y),t)≥

从而定理得证.

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2010 MSC：39B72; 47H15

(编辑 陶志宁)

The Ulam Stability Of Cauchy-Drygas Functional Equation

SONG Aimin

(College of mathematics, Gansu normal University for nationalities, Gannan 747000, Gansu )

In this paper, we define the Cauchy- Drygas functional equationf(x1+x2,y1+y2)+f(x1+x2,y1-y2)=2f(x1,y1)+2f(x2,y1)+f(x1,y2)+f(x2,y2)+f(x1,-y2)+f(x2,-y2), and obtain its general solution. Moreover, we establish the relationship between Cauchy-Drygas functional equation and quadratic-cubic functional equation, and prove the Ulam stability of Cauchy-Drygas functional equation in Banach space and fuzzy normed space.

Cauchy-Drygas functional equation; Banach space; fuzzy, respectively normed space; Ulam stability

2015-12-22

甘肃省高等学校科研项目(2015B-120)

宋爱民(1984—)，男，籍贯甘肃兰州，讲师，主要从事算子代数及其应用方面的研究，E-mail:songaimin@yahoo.com

O177.1

A

1001-8395(2016)06-0851-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.014