S-可除模及S-Dedekind环

高玉兵, 王芳贵, 熊 涛

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

S-可除模及S-Dedekind环

高玉兵, 王芳贵*, 熊 涛

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

S-正则理想;S-可除模;S-正则内射模;S-Noether环;S-Dedekind环

1 预备知识

最后,本文恒设R是有单位元的结合环,若无特别指定,所有的模均指左模.对R-模M,E(M)表示M的内射包络.其他未指明的环与模的概念和符号,可以参见文献[13].

2 S-可除模

尽管传统的可除模的研究主要放在交换环上,但为了使结论对非交换环起作用,以下假设R可以是非交换环,S是包含在R的中心内的非零因子乘法封闭集.

定义 2.1 设M是R-模.

1) 令tor(M)={x∈M|存在u∈S,使得ux=0},这是M的子模,称为M的完全S-挠子模.此外,若tor(M)=M,则M称为S-挠模;若tor(M)=0,则M称为S-无挠模;

例 2.2 下面的事实是显然的:

1) 内射模和FP-内射模都是S-可除模;

2)S-挠模的子模与商模都是S-挠模;

3)S-无挠模的子模是S-无挠模;

4) 若M是S-无挠模,则E(M)是S-无挠模;

5) 若N是任何模,M是S-无挠模,则HomR(N,M)是S-无挠模;

证明 设M是S-可除模,则n=1时断言是成立的.由于u不是R的零因子,故pdRR/Ru≤1，因此当n≥2断言也是成立的.

反之是显然的.

命题 2.4 对任何R-模M,以下等价:

1)M是S-可除模;

2) 对任何u∈S,0→HomR(R/Ru,M)→HomR(R,M)→HomR(Ru,M)→0是正合列;

3) 设A是R-模B的子模,f:A→M是同态.若存在u∈S,使得B/A≅R/Ru,则0→HomR(B/A,M)→HomR(B,M)→HomR(A,M)→0是正合列;

4) 设A是R-模B的子模,f:A→M是同态.若存在u∈S,使得B/A≅R/Ru,则同态f可以扩张到B;

5) 设0→M→B→C→0是正合列.若存在u∈S,使得C≅R/Ru,则该正合列分裂.

证明 1)⟺2)和1)⟹4)⟹3)显然.

1)⟺5) 由文献[13]的定理4.5.4(3)即得.

命题 2.5S-可除模的正向极限是S-可除模.

定义 2.6 设M是R-模,

1) 若由x∈E(M),u∈S,ux∈M,能推出x∈M,则M称为S-可约模;

2) 令S(M)={x∈E(M)|存在u∈S,使得ux∈M},称之为M的S-可除包络.

例 2.7 设u∈R是非零因子,S={un|n≥0},则S(Ru)=S(R)=Ru.

命题 2.8 设M是R-模,

1)M是S-可约模当且仅当E(M)/M是S-无挠模;

2)S(M)是S-可约模;

3) 若M是S-可约模,则M是S-可除模,从而S(M)是S-可除模.

证明 1) 显然.

3) 设u∈S,f:RuM是同态,则存在同态g:RE(M),使得对g(u)=ug(1)=f(u)∈M.由于M是S-可约模,故有x∈M,即Im(g)⊆M.因此有g:R→M是f的扩张.故M是S-可除模.

定理 2.9 设M是S-无挠的S-可约模,N是M的子模,则N是S-可约模当且仅当由x∈M,u∈S,ux∈N能推出x∈N.

证明 必要性 设N是S-可约模,由于N是M的子模,可设E(N)⊆E(M),于是有E(M)=E(N)⊕A,其中A是E(M)的子模.记x=y+z,y∈E(N),z∈A.对任何u∈S,有uz=ux-uy∈N∩A,因此uz=0.由于M是S-无挠模,由例2.2知E(M)也是S-无挠模,故得到z=0,因此x∈E(N).再由N是S-可约模的定义知x∈N.

充分性 设x∈E(N),u∈S,ux∈N.由M是S-可约模及x∈E(M),有x∈M,由条件,故N是S-可约模.

3 S-正则内射模

设I是R的左理想.若I∩S≠Ø,则称I是S-正则左理想.容易看到,若I是S-正则左理想,则R⊆S(I).文献[15]定义了正则内射模的概念,相应地,本文也引入S-正则内射模的概念.

例 3.2 下面的事实也是显然的.

1) 内射模是S-正则内射模;

2)S-正则内射模是S-可除模;

例如：教师可以以开展比赛的活动，来培养学生敢于探索、敢于创新的优秀品质。教师可以要求学生十个人为一组，两个人甩绳，八个人跳绳，然后集体跳绳，看看哪个组跳的多并且又具有创新性，通过这样的方式来培养学生敢于探究、敢于创新的美好品质。二十一世纪的我们，不仅需要学生加强体育运动，还要求学生努力探索、努力创新，以最有效率的学习方法来提升自己，努力做到以学生为本的教育理念。因此，开展跳绳运动就显得非常有必要，教师一定要学会调动学生的积极性，让学生主动探究。

4) 设0→A→B→C→0是正合列,且A和C都是S-正则内射模,则B也是S-正则内射模.

定理 3.3 对R-模E,以下各条等价:

1)E是S-正则内射模;

2) 对R的任何S-正则左理想I,任何同态f:I→E能扩张到R上;

3) 设A是R-模B的子模,f:A→E是同态.若B/A是S-挠模,则f可以扩张到B;

5) 设A是R-模,f:A→E是同态,则f可以扩张到S(A).

证明 1)⟺2)和3)⟺4)显然.

2)⟹3) 设f:A→E是同态,令

Γ={(C,d)|C是B中包含A的子模,

且d是f在C上的扩张}.

类似于Baer准则的证明,Γ中有极大元,设为(C,d).下证C=B,从而断语成立.

若C≠B,取x∈B-C.令I={r∈R|rx∈C},则I是R的左理想.由于B/A是S-挠模,故存在u∈S,使得ux∈C.因此I是S-正则左理想.令h:I→E,使对r∈I,h(r)=d(rx).由条件,有同态g:R→E,使得h(r)=g(r),r∈I.令C1=C+Rx,d1:C1→E,使d1(c+rx)=d(c)+g(r),c∈C,r∈R.若c+rx=0,则r∈I,从而d(c)+g(r)=d(c)+d(rx)=d(c+rx)=0.故d1是完全确定的同态,且是d的扩张，因此(C1,d1)∈Γ,这与(C,d)的极大性矛盾.

3)⟹2)和3)⟹5)显然,因为R/I和S(A)/A都是S-挠模.

5)⟹2) 设I是R的正则左理想,f:I→E是同态.由条件,存在f可以扩张为h:S(I)→E.由于R⊆S(I),故同态g=h|R就是f的扩张.

定理 3.4 对S-无挠模E,以下各条等价:

1)E是S-正则内射模;

2)E是S-可除模;

3)E是S-可约模.

证明 1)⟹2) 显然.

2)⟹3) 设E0是E的内射包,x∈E0,u∈S,ux∈E.定义f:Ru→E,使得f(ru)=rux.由于E是S-可除模,故存在同态g:R→E,使得g(u)=f(u)=ug(1)，因此有u(x-g(1))=0.由例2.2的4),E0是S-无挠模,故有x=g(1)∈E,即E是S-可约模.

3)⟹1) 设I是R的S-正则理想,f:I→E是同态,则存在同态g:R→E0,使得下图可交换

↑f↑g

设u∈I∩S,则ug(1)=g(u)=f(u)∈E.由于E是S-可约模,故g(1)∈E,即g:R→E是f的扩张,故E是S-正则内射模.

命题 3.5 设0→A→M→B→0与0→A→M′→C→0是正合列,其中M是S-正则内射模,C是S-挠模,则有正合列0→M′→M⊕C→B→0.

证明 由定理3.3,存在同态g:M′⟹M,使得下图是行正合的交换图

‖ ↓g↓g1

其中g1是左边方图的诱导同态.由此得到0→M′→M⊕C→B→0是正合列.

4 S-Noether环

定义 4.1 环R称为(左)S-Noether环,是指每个S-正则左理想都是有限生成的.

定理 4.2 对环R,以下各条等价:

1)R是S-Noether环;

2)R有S-正则左理想的升链条件;

3)R有S-正则左理想的极大条件.

证明 1)⟹2) 设M1⊆M2⊆…⊆Mn⊆…是R的S-正则左理想升链.令N=∪Mi.由条件N是有限生成的S-正则左理想.记N=Rx1+…+Rxk.故存在m,使得对一切i,xi∈Mm,从而有N⊆Mm.于是当n≠m时,Mn=Mm.

2)⟹3) 设Γ是R的S-正则左理想的非空集合.若Γ中无极大元,任取M1∈Γ,则M1不是极大元素.故有M2∈Γ,使得M1⊂M2.同理M2也不是极大元素,故又可找M3∈Γ,使得M2⊂M3.如此下去,于是得到R的一个S-正则左理想升链M1⊂M2⊂…⊂Mn⊂…,该链不是稳定的,这与给定的条件矛盾.因此Γ中有极大元.

3)⟹1) 设N是R的S-正则左理想,令Γ={A⊆N|A是有限生成的S-正则左理想}.取u∈N∩S,则Ru∈Γ,故Γ非空,因此Γ有极大元A.若A≠N,则存在x∈N-A,于是A1=A+Rx是N的有限生成S-正则左理想且真包含A,这与A的选择的极大性矛盾,因此N=A是有限生成的S-正则左理想.故R是S-Noether环.

定理 4.3 设R是交换环,则R是S-Noether环当且仅当R的任何S-正则素理想是有限生成的.

证明 必要性 显然.

充分性 设Γ是R的非有限生成S-正则左理想的集合.若Γ非空,由Zorn引理,Γ中有极大元p.设a,b∈R,使得ab∈p.若a∉p,且b∉p,令J={r∈R|ra∈p},则b∈J.于是p⊂p+Ra,p⊂J,因此p+Ra与J都是有限生成的.设{p1+r1a,…,pn+rna}是p+Ra的生成系,p1,…,pn∈p,r1,…,rn∈R,及{x1,…,xm}是J的生成系.类似于文献[13]中定理1.2.5,可以证明p是有限生成的,这与p的选择矛盾.故Γ为空集,从而R是S-Noether环.

定理 4.4 设R是交换S-Noether环,则任何S-正则根理想是有限个(S-正则的)素理想的交.

证明 反设I是S-正则根理想,但I不是有限个素理想的交.令

是根理想,

但A不是有限个素理想的交},

显然L⊆J∩K.设x∈J∩K,则存在正整数m,n,使得xm∈J,xn∈K.记xm=i1+ya,xn=i2+zb,其中,i1,i2∈L,y,z∈R,所以

xm+n=(i1+ya)(i2+zb)=

i1i2+i1zb+i2ya+yzab∈L.

于是xm+n∈L,故x∈L.因此J∩K⊆L.于是得到L=J∩K,即L可以表示为有限个素理想的交,这与假设矛盾,故原结论成立.

定理 4.5 设R是交换S-Noether环,I是R的S-正则理想,则I上只有有限个极小素理想.

5 S-Dedekind

定义 5.1 环R称为(左)S-遗传环,是指每个S-正则左理想都是投射模.

定理 5.2 对环R,以下各条等价:

1)R是S-遗传环;

2)S-正则内射模的商模是S-正则内射模;

3) 内射模的商模是S-正则内射模;

4) 设P是投射模,M是P的子模.若P/M是S-挠模,则M是投射模;

5) 设P是投射模,M是P的子模,且I={r∈R|rP⊆M}是S-正则左理想,则M是投射模;

6) 对任何S-挠模C,pdRC≤1.

证明 2)⟹3)和4)⟺6)显然.

4)⟹5) 显然,因为此时的P/M是S-挠模.

5)⟹1) 设I是R的S-正则左理想.对P=R,M=I应用给定的条件得到I是投射模.故R是S-遗传环.

设R是交换环,用T(R)表示R的完全商环,即T(R)中的元素可以表示为r/s,其中r∈R,s是R的非零因子.注意r/s是T(R)的非零因子当且仅当r是R的非零因子.设A是T(R)中的R-子模,称A是正则的,是指A包含T(R)中的一个非零因子.

对T(R)的任何R-子模A,定义

A-1={x∈T(R)|xA⊆R},

则显然A-1还是T(R)的R-子模.若存在T(R)的R-子模B,使得AB=R,则A称为可逆的.此时必有B=A-1.因此A是可逆的当且仅当AA-1=R.

引理 5.3 设A是T(R)的R-子模,则有:

1) 若A是可逆的,则A是有限生成的;

2) 若A是正则的,则A是投射模当且仅当A是可逆的.

2) 必要性 设A是投射模.设{ai,fi|i∈Γ}是A的投射基.由于A是正则的,存在正则元b∈A,不妨设b=r1/t1.t1∈S,r1∈R.对任何的a∈A,不妨设a=r/t,t∈S,r∈R.由

所以

又因为b是正则元,故

即有AA-1=R.从而A可逆.

因此,A有投射基{a1,…,an,f1,…,fn},故A是投射模.

设a∈R,若存在r∈R,及s∈S,使得s=ra,则a称为拟S-正则元素.显然,当S是饱和乘法集时,拟S-正则元全在S中.

例 5.4 设R=Z,S={4n|n≥0},则2是拟S-正则元素,但不在S中.

引理 5.5 设R是交换环,I是R的S-正则理想.若I是主理想,则I可由一个拟S-正则元素生成.

证明 设I=(a).取s∈I∩S,则s=ra,r∈R.因此,a是S-正则元素.

定义 5.6 设R是交换环.若R的每个S-正则理想都是可逆的,则R称为S-Dedekind环.若每个S-正则理想是主理想,则R称为S-主理想环.

当S是R的所有非零因子乘法集时,此时的S-Dedekind环就是诸多文献提到的Dedekind环.当R是整环,S=R-0时,则S-Dedekind整环就是众所周知Dedekind整环,S-主理想环就是主理想整环.

定理 5.7 设R是S-Dedekind环,则R是S-Noether环,且每个S-正则素理想是极大理想.

证明 由引理5.3,R是S-Noether环.设I是R的S-正则素理想.若I不是极大理想,则存在S-正则素理想J,使得IJ.令K=J-1I.因为I⊆J,则K⊆J-1J=R.又因为JK=I,JI,以及I是素理想,有K⊆I.由I=JK⊆JIRI=I,矛盾.所以I是极大理想.

定理 5.8 设R是S-主理想环,则S-可除模是S-正则内射模.

证明 设E是S-可除模,I=(a)是S-正则理想,f:I→E是同态.设s∈I∩S,b∈R,使得s=ba.由于E是S-正则内射模,则存在x∈E,使得f(s)=sx=bax.令g:R→E,g(1)=x,则g(a)=ax,于是g是f的扩张,从而E是S-正则内射模.

引理 5.9 设R是交换环,T是R的乘法集,I是R的有限生成的正则理想.记I(T)={x∈T(R)T|xIT⊆RT},则有:

1)I(T)IT⊆RT,且I(T)=(I-1)T;

2) 若I是S-正则理想,且IT=aRT/t是主理想,则ITI(T)=RT.

引理 5.10 设R是交换环,

1)I是R的S-正则真理想,则存在R的S-正则极大理想m,使得I⊆m;

2) 若A、B是R的S-正则理想,则A=B当且仅当对R的S-正则理想极大理想m,记T=R-m,有AT=BT.

证明 1) 显然.

2) 必然性是显然的,下证充分性.设a∈A,令I={r∈R|ra∈B},则I是R的理想.取u∈B∩S,则ua∈B,故u∈I,即I是S-正则理想.设m是R的S-正则极大理想,T=R-m.由于AT=BT,故存在t∈T,使得ta∈B,故Im.由1)有I=R.故1∈I.于是a=1a∈B,即A⊆B.同理,B⊆A.于是得到A=B.

定理 5.11 设R是交换环,则以下各条等价:

1)R是S-Dedekind环;

2)R的任何S-正则极大理想m,记T=R-m,有RT是ST-主理想环;

3) 对R的任何S-正则素理想P,P是可逆理想.

证明 1)⟹2) 设A是RT的ST-的正则理想.令I={a∈R|a/1∈A},则I是R的S-正则理想,且A=IT.由于R是S-Dedekind环,I是投射理想,从而A=IT是投射RT模.因此A是主理想.故RT是ST-主理想环.

2)⟹1) 设I是R的S-正则左理想,则IT是RT的ST-正则理想.由条件,IT是主理想.由引理5.9,于是有ITI(T)=IT(I-1)T=(II-1)T=RT.由引理5.10有II-1=R,故I是可逆理想.从而有R是S-Dedekind环.

1)⟹3) 显然.

定理 5.12 设R是交换S-Dedekind环,E是R-模,则E是S-正则内射模当且仅当对R的任何S-正则极大理想m,记T=R-m,有ET是ST-正则内射RT-模.

由于I是有限生成投射模,从而是有限表现模.故由文献[13]中定理3.4.8知θ同构.故由5项引理θ1是同构.故有

因此ET是ST-正则内射模.

定理 5.13 设R是交换环,则以下各条等价:

1)R是S-Dedekind环;

2)R是S-遗传环;

3) 每个S-可除模是S-正则内射模.

证明 1)⟹3) 设E是S-可除模.对R的任何S-正则极大理想m,令T=R-m.易见ET是ST-可除RT-模,由定理5.11,RT是ST-主理想环.由定理5.8,ET是ST正则内射RT模.由定理5.12,E是S-正则内射模.

3)⟹2) 设C是内射模的商模.自然地,C是S-可除模.由条件,C是S-正则内射模.由定理5.2知R是S-遗传环.

2)⟹1) 设I是R的S-正则理想.由条件,I是投射模.由引理5.3,I是可逆的.故R是S-Dedekind环.

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2010 MSC：16D50; 16E10; 16E30

(编辑 李德华)

S-divisible Modules andS-Dedekind Rings

GAO Yubing, WANG Fanggui, XIONG Tao

(College of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu 610066, Sichuan)

LetRbe a ring andMbe aR-module. LetSdenote the regular multiplicative closed set of the center inR. If Ext1R(R/Ru,M)=0, for any regular elementu∈S, thenMis called anS-divisible modules. A leftR-moduleEis called anS-regular injective if Ext1R(R/I,E)=0 for anyS-regular left idealI.Ris called anS-Notherian rings if everyS-regular left ideal inRis finitely generated. A commutative ring is called anS-Dedekind ring if everyS-regular ideal inRis invertible. In this paper, we discuss the basic properties ofS-Noetherian rings. WithS-divisible modules characterizedS-Dedekind rings, it is also shown thatRis anS-Dedekind rings if and only ifS-divisible modules areS-regular injective modules.

S-regular ideals;S-divisible modules;S-regular injective modules;S-Noetherian rings;S-Dedekind rings

2015-12-24

国家自然科学基金(11171240)和教育部博士点专项科研基金(20125134110002)

O154

A

1001-8395(2016)06-0783-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.001

*通信作者简介：王芳贵(1955—),男,教授,主要从事交换代数、同调代数与代数K-理论的研究,E-mail:wangfg2004@163.com