基于二维傅立叶变换的圆杆弹性波模式识别及分离

钱 骥，陈 鑫，朱汉容

(1.重庆交通大学 土木工程学院，重庆 400074；2.重庆交通大学，重庆 400074)

基于二维傅立叶变换的圆杆弹性波模式识别及分离

钱 骥1，陈 鑫1，朱汉容2

(1.重庆交通大学 土木工程学院，重庆 400074；2.重庆交通大学，重庆 400074)

采用有限元模拟了声发射弹性波在高强钢丝内的传播过程，通过提取不同空间位置节点振动时程曲线组成二维幅值序列，由二维傅立叶变换获得了频率-波数域等值线图，并与理论频率-波数图进行了对比分析。结果表明：采用有限元方法能够精确地模拟弹性波在高强钢丝内的传播过程，不同时刻应力云图清晰反映了波在钢丝内的反射和叠加效应；基于二维傅立叶变换的频率-波数图与理论值吻合良好，可以有效地进行耦合波形模式识别和分离，从而实现复杂问题简单化。

桥梁工程;声发射；圆杆；弹性波；模式分离；二维傅立叶变换

0 引 言

声发射是材料或结构在外部因素作用下，产生变形或断裂，以弹性波形式释放出应变能的现象[1]。任何损伤的出现，都是应变能的累积与释放，以弹性波形式释放的应变能，最终通过介质传播到监测传感器，通过实测波形的精确分析即可进行损伤源识别。声发射技术是一种被动的无损检测和监测方法，已广泛应用于航空航天、石油化工、机械制造等诸多领域，并已颁布了多部承压设备如金属储罐、高压气瓶等声发射无损检测标准。

相比较于飞机机翼、压力油罐等薄板结构，弹性波在拉索内的传播更为复杂，多根钢丝绞合在一起难以求得解析解。S.RAMADAN等[2]采用声发射监测预应力钢筋的腐蚀失效过程，通过声发射事件累积数随时间的变化规律，明确的将腐蚀过程分成裂纹萌生，裂纹扩展和钢筋失效3个阶段。G.DRUMMOND等[3]在拉索的疲劳试验中采用声发射监测，认为疲劳试验中声发射能量和幅值是最有效的参数，并且指出，声发射信号的衰减并不是很严重，超过30 m范围信号也可以被探测到。T.M.ROBERTS等[4]参照裂纹扩展率的理论公式，建立了过阈值声发射累计能量与应力强度因子之间的关系式。钱骥等[5-6]开展了单根钢丝及拉索内部钢丝破断的声发射全波形特征，并与摩擦、撞击等损伤源进行了对比分析。众多研究成果表明，声发射波形充分携带了损伤源特征，但是，在经过了一段距离的传播衰减和模式变换之后，是否还能充分表现损伤源的特征却存在疑问，目前针对该问题的研究相对较少[7-9]。满足实桥应用的拉索声发射监测系统不仅需要知道不同损伤源的特征信息，还应该考虑到弹性波从损伤源传播到传感器的变化规律，以保证实测波形携带源特征的真实性和有效性。

以拉索内单根高强钢丝为研究对象，探讨弹性波在传播过程中的模式识别和分离方法。首先通过数值求解细长圆柱体频率方程，得到5 mm直径高强钢丝内纵波、扭转波及弯曲波理论频率-波数图；再由有限元模拟弹性波在高强钢丝内的传播过程，获得不同时刻钢丝应力云图及各节点振动时程曲线，并采用二维傅立叶变换将各节点时域信号从时间-空间域转换到频率-波数域，从而实现耦合波形的模式识别与分离。

1 柱波导理论及数值求解

波在各向同性弹性固体中的传播是一个典型的动力学问题，根据牛顿第二定律和广义胡克定律，建立不考虑体力的微元运动方程[10]：

(1)

(2)

(3)

通过引入目标结构的边界条件和激励源可对式(1)～式(3)进行求解，从而获得结构各点的位移时程。通常情况下，结构形式越复杂，几何形状越不规则，波动方程边界条件越难以确定。目前获得的解析解主要是平板、圆柱、空心圆管等规则构件。

桥梁拉索内部高强钢丝可考虑为细长圆柱体，通过将笛卡尔坐标系下运动方程(1)～运动方程(3)转换到柱坐标系，可得：

(4)

(5)

(6)

式中：φ是柱坐标下的体积不变量；ωr,ωθ,ωz代表旋转矢量的3个分量。

式(4)～式(6)的求解需要给定边界条件和激励输入，对于高强钢丝这类细长圆柱体而言，其传播模式包含纵波、扭转波和弯曲波，假设钢丝表面应力分量为σrr,σrz,σrθ，以应力表示的边界条件为

纵波：σrr=σrz=0 (r=a)

(7)

扭转波：σrr=σrz=σrθ=0 (r=a)

(8)

弯曲波：σrr=σrz=σrθ=0 (r=a)

(9)

根据边界条件式(7)～(9)可求得3种不同模式波的特征方程如式(10)～(12)，而位移场的求解则还需要附加特定的激励源。

(10)

(βa)J0(βa)-2J1(βa)=0

(11)

(12)

3个频率方程均为超越方程，采用牛顿下山法由MATLAB编程求解可得到f-k曲线，如图1。

图1 不同模式波理论频率-波数曲线Fig.1 Theoretical frequency-wave number curve of different wave patterns

2 有限元模拟

如上文所言，波动方程的求解需要确定的激励源，并且包含有多个模式。实测信号通常均是多模式的耦合结果，为能够更清晰地分析波传播过程特征，实现复杂问题简单化，可进行多模式耦合时程波形的模式分离。

采用有限元模拟三角形脉冲激励源，通过提取钢丝长度方向多点时程波形进行二维傅立叶变换，得到频率-波数域关系曲线，并与理论值进行对比，最终由被分离的单一模式进行二维傅里叶逆变换，从而实现复杂波形的信号解耦。

有限元模型中钢丝长度L=300 mm、直径D=5 mm，一端固定，一端自由，不考虑阻尼的影响，物理参数见表1。

表1 高强钢丝材料参数Table 1 Parameters of high strength steel wire

弹性波在高强钢丝中传播包含3种模式，各模式及其不同阶模态所包含的能量比例取决于激励荷载的位置、方向及频率。文中采用自由端截面中心激励三角形脉冲模拟声发射源，荷载表达式为F(t)=Fx(t)i+Fy(t)j+Fz(t)k，其中Fx(t)=Fy(t)=Fz(t)。脉冲荷载持续时间为2 μs，荷载结束后持续198 μs以模拟弹性波在钢丝中的传播过程，如图3。

图2 高强钢丝有限元计算模型Fig.2 Finite element calculation model of high strength steel wire

图3 激励荷载Fig.3 Excitation load

根据有限元计算结果，提取不同时刻钢丝应力云图如图4。

图4 高强钢丝应力云图Fig.4 Stress contour of high strength steel wire

从图中可以看到，弹性波从自由端传播到固定端经历60 μs，之后开始出现反射波，并与之前的波形发生重叠，最终在钢丝内部形成多次反射的叠加，形成稳定的导波。高强钢丝的Mises应力云图疏密相间，体现的是纵波模态，而产生不均匀的疏密相间，是由于弯曲波的耦合影响。

3 基于二维傅立叶变换的模式分离

通过单根钢丝弹性波传播有限元计算应力云图，可以清晰看到波的传播过程，但各节点时程波形均是多模式耦合的复杂波形，无法知道其中包含有哪些模式波。

因此，考虑采用二维傅立叶变换，将由沿钢丝纵向一系列节点振动波形组成的时域-空间域二维矩阵转换到频率-波数域，从而获得与理论频率方程相对应的频率-波数图。

二维傅立叶变换可按式(13)进行：

H(k,f)=∬u(x,t)e-i(ωt+kz)dxdt

(13)

式中：u(x,t)为钢丝表面各点加速度时程信号，

离散二维傅立叶变换的定义与Newland[12]给出的一维离散傅立叶变换相似，其变换的结果是各个离散的频率点和波数点的二维幅值序列。二维傅立叶变换的实现过程是对每一个监测位置时程信号进行傅立叶变换，得到每一位置的频率谱。在这个阶段，每一位置的谱信息用列矩阵表示，将这些列矩阵组成一个阵列，则给定频率处的元素形成的行向量的空间傅立叶变换给出了频率-波数-幅值信息。将幅值投影在频率-波数平面上，就可以得到频率-波数图。

通过ABAQUS/Explicit的有限元计算结果，可以得到高强钢丝任意节点各个方向的位移、速度和加速度等时程信号。首先提取高强钢丝外表面节点的加速度时程a(z,t)，然后选用中间500个节点(距离声发射源25～275mm，相邻节点间隔0.5mm)的时程信号，通过2D-FFT，得到高强钢丝有限元分析频率-波数图，如图5。图5(a)、图5(b)和图5(c)分别为 x，y 和z方向加速度的2D-FFT变换结果。

图5 加速度的2D-FFTFig.5 The 2D-FFT of acceleration

前文已通过数值方法求解频率方程，获得了不同模式波的理论频率-波数图。图1为频率0～1 MHz和波数0～200 m-1范围的各阶模态的理论频率-波数曲线，由于激励源没有激发圆周方向的扭转波，此处只给出纵波(L)和弯曲波(F)前3阶的理论频率-波数曲线。比较5 mm直径高强钢丝的理论频率-波数曲线与二维傅立叶变换结果如图6，其中，图6(a)、图6(b)和图6(c)分别为x，y和z3个方向。

图6 有限元解与理论曲线比较Fig.6 Comparison between finite element solution and theoretical curve

从图6可看到，由节点3个方向的加速度时程所计算的频率-波数图，均与理论频率-波数图存在对应曲线，且二者吻合良好。这说明采用有限元模拟弹性波传播过程是可行的，同时也说明采用二维傅立叶变换可以实现耦合波形的模式识别和分离。

弹性波在3个方向均只被激起低阶模式，均包含有1阶和2阶弯曲波，差异在于x方向激起了3阶弯曲波，而y,z方向激起了1阶纵波，这取决于激励荷载的方向、频率等参数。

图6可以在频率-波数域进行不同模式波的识别和分离，而时域-空间域波形的分离则需要进一步借助二维滤波方法，通过提取图6中某一模式波的二维频率-波数矩阵，简单进行二维傅立叶逆变换即可得到单一模式的时域波形。

4 结 论

采用有限元模拟了弹性波在高强钢丝中的传播过程。通过提取钢丝长度方向一系列空间节点时程波形，由二维傅立叶变换实现了耦合波形的模式分离，从而实现了复杂问题简单化，有如下结论：

1)采用有限元能够准确地模拟弹性波在高强钢丝中的传播过程。不同时刻应力云图清晰反映了波在钢丝内的反射及叠加效应。基于有限元计算结果的频率-波数图与理论值完全吻合。

2)通过提取不同空间位置节点的振动时程曲线，进行时间-空间域二维傅立叶变换，可以获得清晰的频率-波数图，且均在理论频率-波数图中存在对应曲线。说明采用二维傅立叶变换可以有效的进行圆杆弹性波模式识别及分离。

3)弹性波在节点3个方向所表现的模式存在差异，取决于激励荷载的方向、频率等参数，通常情况下，只能激起有限的几次低阶波。

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Pattern Recognition and Separation of Elastic Wave Propagating in Circular Rod Based on Two-dimension Fourier Transform

QIAN Ji1，CHEN Xin1，ZHU Hanrong2

(1.School of Civil Engineering，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，P.R.China；2. Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，P.R.China)

The process of sound-transmitted elastic wave propagating in high strength steel wire was simulated by finite element method. By picking the vibration time history curves of different position nodes to form a two-dimensional amplitude sequence, the contour map of frequency-wave number was obtained by the two-dimension Fourier transform, and compared with the theoretical value finally. The results show that the finite element method can accurately simulate the propagation of elastic wave in high strength steel wire, and the stress cloud images at different propagation time clearly reflect the reflection and superposition effect. Frequency-wave number map based on the two-dimensional Fourier transform is in good agreement with the theoretical value, which can be used to effectively recognize and separate the coupled waveform pattern, and thus simplify the complex problems.

bridge engineering;acoustic emission(AE)；round bar；elastic wave；pattern separation；two-dimension Fourier transform

10.3969/j.issn.1674-0696.2016.04.01

2016-01-25；

2016-03-21

国家自然科学基金项目(51408090, 51478347)；重庆市基础与前沿研究计划项目(cstc2014jcyjA0947)

钱 骥(1983—)，男，湖北浠水人，讲师，博士，主要从事桥梁健康监测与振动控制方面的研究。E-mail：jiqian228@126.com。

U446.1

A

1674-0696(2016)04-001-05