数形结合思想在高中数学教学的应用分析

2016-05-14李家金

数学学习与研究 2016年5期

李家金

[摘要]数形结合思想是一种将数量和图形结合分析、研究、解决数学问题的思想方法，有利于将学生的抽象思维和形象思维有机统一起来，能够帮助学生系统的掌握数学知识，构建学生较为完善的知识结构体系，研究数学的规律，提高他们分析问题和解决问题的综合能力。

[关键词]高中数学；数形结合思想；意义；应用

数形结合思想是一种将数量和图形结合分析、研究、解决数学问题的思想方法，是数学研究中最为重要的思想方法，能够将复杂的数学问题变得更加简单有规律可循，能够将数学的问题借助图形进行分析，又能够将繁琐的几何问题变成高度概括的代数问题，是高中数学教学的重点，有利于将学生的抽象思维和形象思维有机统一起来，能够更好地帮助学生研究数学的规律，提高他们分析问题和解决问题的综合能力。数形结合思想在高中数学教学中的应用非常广，值得我们深入探究。

一、数形结合思想在高中数学集合教学的应用

集合知识是高中教学的难点，也是高一学生顺利实现初高中过渡的关键，很多的学生一看到集合便被这些知识难住了，对数学产生了畏惧心理。高一集合教学过程中，很多教师讲解起来也感到较为困难，大费周章，苦口婆心地口舌和一节课，学生还是不明白集合的概念，不知结合的意义和价值，无法体会到具体的含义和应用。初中学生接触更多的是简单的数学知识，他们更多的形象思维，学习到的很多数学知识都是可以直接观看感知。此时，运用数形结合思想，通过画图展现已知条件，让学生能够一目了然。

例如，一班有50名学生，需要报名参加学校组织的甲乙丙三科的兴趣学习知识竞赛，有38人选择的了甲学科，有35人选择了乙学科，有31人选择了丙学科，同时选择了甲乙连个学科的有29名学生，有28名学生同时选择了甲丙学科，有26人同时选择了乙丙学科，有24人同时选择了甲乙丙三门学科，请问有没有学生一个学科都没有选择，有多少人？这个问题就是跟集合有关的看起来非常复杂的现实生活问题，叙述起来就非常复杂，思考起来更是头绪繁多，如何选择韦恩图法来解决，通过数形结合的方式，就会变得非常简单。如图所示，选择了甲乙而不选丙的有a=29-24=5（人）；选择甲、丙而没有选择乙学科的学生有b=28-24=4（人）；选择了乙、丙没有选择甲的有c=26-24=2（人）；仅选择乙的有d=35-24-a-c=1（人），仅仅选择了丙学科的学生有e=31-24-b-c=1；至少选择了一门学科的学生是38+d+e+c=45（人）。

因此，三门学科都没有选择的学生有50-45=5（人）。这样能够把复杂的问题简单化，将抽象问题一目了然，学生学习起来非常直观，不仅能够解决这个问题，更掌握了一种思想方法，以后遇到类似的问题都能借助这个方法解决。

二、数形结合思想在高中数学函数中的应用

函数是高中教学的重点，无论是三角函数、二次函数等，都具有很强的抽象性，学生理解较为困难。运用数形结合思想指导学生学习，帮助学生更为直观地感知和理解函数图像。很多的高中函数试题不是单一考查函数的知识，很多时候会将函数与三角形、四边形、六边形等知识融合在一块，更进一步增加了试题的难度。运用数形结合思想能够通过图形展示，将各个条件都标到图像中，更好地理清思路，提高解题效率。

例如，关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0，如果该方程有两个根，其中一个根在（-1，0）这个区间内，另一个根在（1，2）区间内，试求m的取值范围。这是一道特殊一元二次方程，根据根的数量和分布情况，判断位置元素的取值范围。可以将这个方程问题转化为函数问题f（x）=x2+2mx+2m+1，通过函数分析方程的根的分布问题，能够做到一目了然。如图：

f（0）=2m+1<0，

f（-1）=2>0，

f（1）=4m+2<0，

f（2）=6m+5>0，

所以m<-1[]2，

m∈R，

m<-1[]2，

m>-5[]6，

所以-5[]6

三、数形结合思想在三角函数教学中的应用

三角函数是中学数学中较为抽象的学习内容，学生在理解和接受上面临着一定的困难和挑战，这就需要中学数学教师运用较为合理的方式进行讲授，灵活运用数形结合思想，并有效的渗透到中学三角函数的教学中，帮助学生能够有图形分析结论，找到解决的方法，借助数形结合思想来完成解题过程。

例如，已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c（ab≠0，α-β≠kπ，k∈Z），求证：cos2α-β2=c2a2+b2。