从高考试题看高中数学圆锥曲线解题技巧

赵倬

[摘要]结合具体的实例对圆锥曲线部分在高考中的出题策略予以剖析，以期证实上述的思想方法对于解答圆锥曲线类题目是不可缺少的解题技巧。

[关键词]高考试题；圆锥曲线；解题技巧

一、在高考试题下看数学试题

在近些年的高考试题中，圆锥曲线的出题方式一般以一个客观题和一个分布在试卷靠后位置的主观题项目为主。圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，虽然属于平面图形，但是解析几何的直观在这里从对概念的理解开始便在发挥作用。圆锥曲线的命题重点首先围绕着对象的概念和性质来展开，其次是直线与圆锥曲线的位置关系。先行从代数的角度学习直线和圆的性质，从对对象的直观理解中跃入解析几何的抽象领域，圆锥曲线部分要求学生从一开始就在发散思维的原则下超越到完全以方程的思想来约束并把握圆锥曲线的几何性质。随着对其性质探讨的逐步深入，在思想方法上将会涉及数形结合的思想、化归的思想、分类讨论的思想以及函数与方程的思想等。因为以圆锥曲线为主题的试题变体很多，所以在对具体试题的处理过程中，还要求在综合运用这些思想方法的同时，学生具备一定程度的计算能力。

二、高中数学圆锥曲线解题技巧

下面这部分试题围绕着圆锥曲线的基本知识，在与方程的待定系数法相结合的过程中，复合有其他平面几何图形的知识。或是说，题目的设计技巧体现在圆锥曲线信息的有效性取决于先行的其他平面几何图形的知识的有效性，例如三角形。

1。客观题部分

例1 （新课标2·2015）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）。

A。5 B。2 C。3 D。2

解析 该题的核心知识点有两个：等腰三角形的性质；双曲线的标准方程和性质。①将双曲线方程设定为x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），如图；②因为AB=BM，∠ABM=120°，过点M作MN垂直于X轴，垂足为N，在Rt△BMN中，求得BN=a，MN=3a，M点的坐标为（2a，3a），③根据双曲线方程、c2=a2+b2以及离心率e=ca（e>1），可以求的c2=2a2，e=2，因此本题选D。本题涉及的基本思想方法是待定系数法。

2。主观题部分

首先，是数形结合的思想方法，这种思想方法特点在于将圆锥曲线从平面的角度视为一种运动中的轨迹，在此背景下，题目的考核目标往往是与轨迹相关的边缘域问题、定值问题、最值问题等。

例2 （山东·2015）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24a2+y24b2=1（a>b>0）的离心率为32，左、右焦点分别是F1和F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上。

（Ⅰ）求椭圆C的方程。

（Ⅱ）设椭圆E；x24a2+y24b2=1，p为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A和B两点，射线PO交椭圆E于点Q。

（ⅰ）求OQOP的值。

（ⅱ）求△ABQ面积的最大值。

解析 本题的核心知识点有：椭圆的定义；韦达定理与最值问题；椭圆与直线的位置关系问题。①根据椭圆的定义2a是定值，以及e=32，结合椭圆的标准方程求的a=2，b=1，因此椭圆的方程为C：x24+y2=1。②根据题意，设OQOP=λ，P（x0，y0），则Q（-λx0，-λy0）。又x24a2+y24b2=1，所以将P和Q带入方程解得，λ=2，所以OQOP=2。③根据题意设A（x1，y1），B（x2，y2）。将y=kx+m带入方程x216+y24=1得到（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0，根据韦达定理，由Δ>0，m2<4+16k2（Ⅰ）；x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-161+4k2，x1-x2=416k2+4-m21+4k2。因为直线y=kx+m与轴焦点的坐标为（0，m），所以△ABO的面积为S=12mx1-x2=24-m21+4k2m21+4k2，令m21+4k2=t，由Δ≥0，可得m2≤1+4k2（Ⅱ）。由（Ⅰ）和（Ⅱ）可得，0

与数形结合的思想方法相适应的题目类型有：圆锥曲线通过构造出的三角形关系，与直线、韦达定理、函数的最值问题等建立起逻辑关联，依靠代数法或几何法解题，其中涉及例如联立方程法、整体消元法等解题技巧，强化计算能力，助力高考。

其次，是化归、分类讨论以及函数与方程的思想方法，将这几种思想方法综合起来看，它主要强调考生通过建立起圆锥曲线与方程之间的关联，在简化思想模型的基础上，进行有效地推理与论证。建立在数形结合的基础上，分类锁定知识背景中的相关考点，化归简化思想路径，最终用代数转方程来表达圆锥曲线与关联对象之间的相互关系（例题略）。

三、总 结

在对圆锥曲线问题的解答中，需要考生灵活运用相关知识，综合性的考虑各种可行性方案与可能的因素，配合一定的解题技巧和计算能力给出答案。