以小破大 突破二次函数的“重围”
2016-05-14廖杰峰
廖杰峰
[摘要]在浙江高考卷中，二次函数往往作为压轴题，而对于函数的考查，比较侧重以二次函数为依托，考查二次函数及其方程、不等式的综合运用，本文以此为线索，从几个小问题入手，厘清二次函数与方程、不等式在具体问题中的联系及转化关系，并提出二次函数综合题的相应解题策略。
[关键词]二次函数;以小破大;解题策略
问题1 已知函数f（x）=ax2+2ax+4（a>0）。若x1
解法1 因对称轴方程为x=-1，由已知条件知，则x1，x2不可能都在-1的左边，否则与条件矛盾，所以只能在右边或一左一右。
第一种情况，若x1，x2都在-1的右边，则根据二次函数的单调性，就有f（x1）
第二种情况，若x1，x2在-1的一左一右，则只能是x1在-1的左边，而x2在-1的右边，设x1与-1的距离为L，设x2与-1的距离为N，L-N=x1-x2<0，所以L
解法2 （特殊值法）取x1=-2，x2=2，对照称轴方程为x=-1，显然f（x1）
变式 已知函数f（x）=ax2+2ax+4（0
解析 取a=1，即转化为上一题。
比函数值大小的解题策略：
其一，根据已知条件确定对称轴，并求出相应的对称轴方程。函数的单调性、极值及函数值大小等与对称轴密切相关。在闭区间内，二次函数的最值问题通过该函数的单调性可以确定，而该函数的单调性，又根据其对称轴位置（在区间的右边、左边，还是区间内）及开口方向来确定。如果无法确定对称轴位置和开口方向，则要进行分类讨论。
其二，可以采用特值法，即特殊值代入。可以将题目中的某一个未知量设为较特殊的值，以降低解题难度。该方法在选择题中比较适用。注意在代入特殊值时，切不可以偏概全，要力求全面、恰当。
其三，转化法。可以将“比较函数值大小”这类问题转化为针对对两个或几个自变量间关系的研究问题，继而转换成对变量和对称轴之间距离的研究。
此外，分类讨论非常重要。要做到不重复、不漏掉任何情况。对区间固定、对称轴不确定的题型，可以先进行配方，接着根据对称轴的位置与定义域区间的关系来讨论。对区间不固定、对称轴确定的题型，可以先求出函数的开口方向、对称轴，进而分析在不同期间内的最值状况。对区间不固定、对称轴也不确定的题型，可以先找出该函数对称轴满足的条件，进而确定对称轴方程，在分析定义域区间和对称轴的关系。
问题2 若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈0，12成立，则a的最小值为（ ）。
A。0 B。-2 C。ba D。-3
解法1 （转换变量）取f（a）=x·a+x2+1，只需f（0）≥0，且f12≥0，得到a≥-52。
解法2 （分离变量）a≥-x2-1x=-x+1x，同时y=x+1x在x∈0，12的范围内的最小值为52，a的最小值为-52。
变式 若对任意的n（n为正整数），n2+（a-2）n+1+a>0恒成立，求a的取值范围。
略解：分离变量。
提示 要求无论a取何值，该式恒大于0，即在最低点该式大于0。而该式开口向上，可知最低点即为二次函数的顶点。
求变量范围的解题策略：
其一，如果在变量所处范围内有两个端点，则可以将二次函数转化成一次函数（即进行变量转换）或分离变量。
其二，如果在变量所处范围内有一个端点，可以考虑分离变量。
问题3 设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，f（1）>0，求证：
（1）a>0且-2
（2）函数f（x）在（0，1）内有几个零点？说明你的理由。
解析 （1）由已知，有c>0，3a+2b+c>0，由条件a+b+c=0，消去b，得a>c>0。
由条件a+b+c=0，消去c，得a+b<0，2a+b>0，又已有a>0，所以-2
（2）抛物线f（x）=3ax2+2bx+c的顶点坐标为-b3a，3ac-b23a，把-20，f（1）<0，而f-b3a=-a2+c2-ac3a<0，由零点存在定理可知，所以函数f（x）在0，-b3a与-b3a，1内分别有一个零点，所以函数f（x）在（0，1）内有2个零点。
变式 设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）·f（1）=0，求证：
（Ⅰ）方程f（x）=0有实根;
（Ⅱ）-2
（Ⅲ）设x1，x2是方程f（x）=0的两个实根，求|x1-x2|的范围。
解析 （Ⅰ）若a=0，b=-c，则f（0）·f（1）=c（3a+2b+c）=-c2≤0，这与已知矛盾，所以a≠0。
方程的判别式：
Δ=4（a2+c2-ac）=4a-12c2+34c2>0，
所以方程f（x）=0有实根。
（Ⅱ）由f（0）·f（1）=0，得c（3a+2b+c）>0，由条件a+b+c=0，消去b，得到（a+b）（2a+b）>0，两边同除以a2，得-2
（Ⅲ）（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=49ba+322+13。
因为-2
所以33≤x1-x2<23。
求不等关系的解题策略：
可以采用消元法。将无关量消去，方便解题。
求二次函数零点个数或位置的解题策略：
可以采用分割法。寻找如顶点之类的特殊点位置，进而确定分点，以分割区间。
二次函数的根解题策略：
其一，根据定义和判别式判断根（两个不相等实根，一个实根还是没有实根）。注意二次项的系数不能为0。
其二，x1-x2=Δa。
其三，可以使用消元法、换元法等转化方法，以求确定变量的范围。
反思和总结：
其一，要弄清根和定义的概念与关系。
其二，要注意二次函数值与自变量间的变化对应关系。函数问题，研究的是动态变化，理解函数值和自变量间的变化对应关系对解题而言至关重要。
其三，通过数学建模思想，数形结合方便解题。对某些应用型较强的问题，典型如汽车通过桥洞问题，根据图形的直观性、丰富性特征，可以有效降低解题难度。
其四，介绍一些简单的解决二次函数问题的知识点。
二次函数公式：y=ax2+bx+c（其中系数a、b、c均为常数，且a≠0）。
当a>0时，该函数开口向上;当a<0时，该函数开口向下。
当a与b符号相同时，在y轴左侧有对称轴;当a与b符号不同时，在y轴右侧有对称轴。
|x1-x2|=b2-4aca该式交y轴于（0，c）。
当b2-4ac>0时，ax2+bx+c=0有两个大小不等的实根;
当b2-4ac=0时，ax2+bx+c=0有一个实根;
当b2-4ac<0时，ax2+bx+c=0没有实根。
二次函数的几种解析式：
一般式：y=ax2+bx+c（其中系数a，b，c均为常数，且a≠0）
顶点式：y=a（x-h）2+k（其中，a，k，h均为常数，a≠0）
两根式：y=a（x-x1）（x-x2），x1，x2为抛物线交x轴的横坐标，即ax2+bx+c=0的两个根。
其中，所有二次函数，进行配方后都能转换成顶点式，顶点坐标（h，k）。当h=0时，抛物线的顶点位于y轴。k=0时，抛物线的顶点位于x轴。k=0且h=0，抛物线的顶点位于原点。当抛物线和x轴相交时，该抛物线方程可以转化为两根式。
其五，求抛物线最值、对称轴、顶点有如下方法：
配方法：将函数解析式转化成y=a（x-h）2+k的形式，其顶点坐标为（h，k），对称轴是直线x=h。当a>0时，y存在最小值，其最小值=k，此时x=h;当a<0时，y存在最大值，其最大值为k，此时x=h。
公式法：直接利用顶点坐标公式求解。
