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运用构造法解决三角函数题

2016-05-14由国清

数学学习与研究 2016年5期
关键词:构造法三角函数应用

由国清

[摘要]解决数学问题的方法很多,构造法是其中的一种基本方法。本文通过构造法,来解决三角函数问题

[关键词]构造法;三角函数;应用

所谓构造法就是根据问题的条件或结论所具有的特征,通过构造一个相关的数学对象,实现问题的转化,使转化后的问题比原问题更易理解,更富启发性,从而使问题得以解决。构造辅助元素的方法很多,在选择构造方法的过程中要根据实际需要,使构造的辅助元素为问题的解决起到桥梁的作用。对于构造法也可以这样理解:当某些数学问题使用通常的方法按定式思维去求解很难凑效时,应根据题设条件和结论的特征、性质展开联想,即从一个目标想到曾经使用过可能达到该目标的结论、方法、手段,进而构造出解决问题的特殊模式。成功使用构造法解决问题是培养创造性思维能力的一种有效方法,并对培养学习数学的兴趣有很大帮助。

构造法的方法很多,技巧性强,使用时没有固定的模式,须根据具体问题采用相应的构造法。下面通过构造不同数学模型的例子,介绍一下构造法的应用。

一、构造三角形

例1 求cot10°-4cos10°。

解 根据三角形中的边角关系,可构造如图的三角形ABC,使∠C=90°,∠A=10°,BC=1,D为AC边上的一点,且使∠BCD=30°,则BD=2且∠ABD=20°。

在△ABD中,由正弦定理得ADsin20°=BDsin10°。∴AD=BDsin20°sin10°=4cos10°。

又AC=cot10°,∴cot10°-4cos10°=AC-AD=3。

二 、构造方程

例2 已知ABC是△ABC的三个内角,且sinA≠sinB,(sinC-sinA)2 -4(sinA –sinB)(sinB-sinC)=0,求证:0

证明 ∵sinA≠sinB,∴可构造一元二次(sinA–sinB)x2+(sinC-sinA)x+sinB-sinC=0。

∵方程各项系数之和为0,∴1是方程的一个根。

又∵Δ=0,∴方程的另一个根也是1。

∴根据韦达定理得:sinB-sinCsinA-sinB=1。

2sinB=sinA+sinC。2sinB2cosB2=sinA+C2cosA-C2=cosB2cosA-C2。

∴sinB2=12cosA-C2≤12,∴0

三、构造函数

例3 已知x,y∈-π4,π4,a∈R且,

x3+sinx-2a=0

4y3+sinycosy+a=0

,求cos(x+2y)的值。

分析 看到这个题目,会有一种陌生感,这个题目既有代数式又有超越式,还有参数。通过题设消去参数a,可得x3+sinx=(-2y)3+sin(-2y)。因此,可构造函数f(x)=t3+sint,此函数在[-π4,π4]上递增,又f(x)=f(-2y),∴x=-2y,即x+2y=0,cos(x+2y)=1。

四、构造椭圆

例4 已知cos4αcos2β+sin4αsin2β=1,求证:cos4βcos2α+sin4βsin2α=1。

证明 条件和椭圆方程很相似,构造椭圆x2cos2β+y2sin2β=1,

显然P1(cos2α,sin2 α)P2(cos2β,sin2β)都在椭圆上,又过点P2的切线方程是x+y=1,而点P1也在直线x+y=1上,由切点的唯一性知P1和P2重合,故

cos2α=cos2β,sin2α=sin2β,∴cos4βcos2α+sin4βsin2α=cos2 β+sin2 β=1。

总之,从以上的例题(构造法不只限于上述提到的几种),中容易看到:构造法在中学数学中应用十分广泛,在解决问题中显得灵活简单,但也有思维跨度大的缺点,只要我们具备扎实的数学基本功,掌握基本的构造法解题技巧,对待问题能够透过表面看本质,适当有效的进行知识的迁移和重组构造,就能理解构造法的内涵,灵活运用构造法去解题。激发学生的学习的兴趣,丰富学生的想象力和思维的创造力,从而培养学生的构造意识和探索精神。

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