运用构造法解决三角函数题

由国清

[摘要]解决数学问题的方法很多，构造法是其中的一种基本方法。本文通过构造法，来解决三角函数问题

[关键词]构造法；三角函数；应用

所谓构造法就是根据问题的条件或结论所具有的特征，通过构造一个相关的数学对象，实现问题的转化，使转化后的问题比原问题更易理解，更富启发性，从而使问题得以解决。构造辅助元素的方法很多，在选择构造方法的过程中要根据实际需要，使构造的辅助元素为问题的解决起到桥梁的作用。对于构造法也可以这样理解：当某些数学问题使用通常的方法按定式思维去求解很难凑效时，应根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，即从一个目标想到曾经使用过可能达到该目标的结论、方法、手段，进而构造出解决问题的特殊模式。成功使用构造法解决问题是培养创造性思维能力的一种有效方法，并对培养学习数学的兴趣有很大帮助。

构造法的方法很多，技巧性强，使用时没有固定的模式，须根据具体问题采用相应的构造法。下面通过构造不同数学模型的例子，介绍一下构造法的应用。

一、构造三角形

例1 求cot10°-4cos10°。

解 根据三角形中的边角关系，可构造如图的三角形ABC，使∠C=90°，∠A=10°，BC=1，D为AC边上的一点，且使∠BCD=30°，则BD=2且∠ABD=20°。

在△ABD中，由正弦定理得ADsin20°=BDsin10°。∴AD=BDsin20°sin10°=4cos10°。

又AC=cot10°，∴cot10°-4cos10°=AC-AD=3。

二 、构造方程

例2 已知ABC是△ABC的三个内角，且sinA≠sinB，（sinC-sinA）2 -4（sinA –sinB）（sinB-sinC）=0，求证：0

证明 ∵sinA≠sinB，∴可构造一元二次（sinA–sinB）x2+（sinC-sinA）x+sinB-sinC=0。

∵方程各项系数之和为0，∴1是方程的一个根。

又∵Δ=0，∴方程的另一个根也是1。

∴根据韦达定理得：sinB-sinCsinA-sinB=1。

2sinB=sinA+sinC。2sinB2cosB2=sinA+C2cosA-C2=cosB2cosA-C2。

∴sinB2=12cosA-C2≤12，∴0

三、构造函数

例3 已知x，y∈-π4，π4，a∈R且，

x3+sinx-2a=0

4y3+sinycosy+a=0

，求cos（x+2y）的值。

分析 看到这个题目，会有一种陌生感，这个题目既有代数式又有超越式，还有参数。通过题设消去参数a，可得x3+sinx=（-2y）3+sin（-2y）。因此，可构造函数f（x）=t3+sint，此函数在[-π4，π4]上递增，又f（x）=f（-2y），∴x=-2y，即x+2y=0，cos（x+2y）=1。

四、构造椭圆

例4 已知cos4αcos2β+sin4αsin2β=1，求证：cos4βcos2α+sin4βsin2α=1。

证明 条件和椭圆方程很相似，构造椭圆x2cos2β+y2sin2β=1，

显然P1（cos2α，sin2 α）P2（cos2β，sin2β）都在椭圆上，又过点P2的切线方程是x+y=1，而点P1也在直线x+y=1上，由切点的唯一性知P1和P2重合，故

cos2α=cos2β，sin2α=sin2β，∴cos4βcos2α+sin4βsin2α=cos2 β+sin2 β=1。

总之，从以上的例题（构造法不只限于上述提到的几种），中容易看到：构造法在中学数学中应用十分广泛，在解决问题中显得灵活简单，但也有思维跨度大的缺点，只要我们具备扎实的数学基本功，掌握基本的构造法解题技巧，对待问题能够透过表面看本质，适当有效的进行知识的迁移和重组构造，就能理解构造法的内涵，灵活运用构造法去解题。激发学生的学习的兴趣，丰富学生的想象力和思维的创造力，从而培养学生的构造意识和探索精神。