一个不定积分题的解法探究

吉耀武

[摘要]不定积分是高等数学教学中的一个重点内容，如何解积分题是教学中的难点。通过我在高等数学教学中对不定积分的解题研究，给出了一个不定积分的多种解法，这些解法对于解其他积分题也有很大的帮助作用，值得与读者、同行交流探讨。

[关键词]高等数学，不定积分，类型，解法

[基金项目]高职院校数学教学中学生创新能力的培养探究（编号XTZY15J15）

一、引 言

求不定积分的方法有：直接积分法、凑微分法、第二类换元积分法、分部积分法。求积分的难易程度取决于对这些方法运用的灵活程度，在教学中常遇到一些典型的积分，例如∫sinxsinx+cosxdx，通过对不定积分的解题方法进行研究，以这个积分为例给出它的多种解法，这些解题方法对求其他积分题也有很大的帮助。

二、解法探究

解法1 一般地，对于∫f（sinx，cosx）dx类型的积分，采用万能代换令tanx2=t，化为分式有理函数积分，用部分分式法分解为若干个真分式的代数和，可以求出该积分，但是方法非常繁琐，一般不用这种解法（略）。

解法2 I=∫sinxsinx+cosxdx=∫（sinx+cosx）-cosxsinx+cosxdx

=∫dx-∫（cosx-sinx）+sinxsinx+cosxdx=x-∫1sinx+cosxd（sinx+cosx）-I=x-ln|sinx+cosx|-I。

移项除以2，得：I=12（x-ln|sinx+cosx|）+C。

解法3 分子分母同乘以 cosx-sinx。

∫sinxsinx+cosxdx=∫sinx（cosx-sinx）cos2x-sin2xdx=∫sinxcosxcos2xdx-∫sin2xcos2xdx

=-14∫1cos2xd（cos2x）-12∫1-cos2xcos2xdx

=-14ln|cos2x|-14∫sec2xd（2x）+12∫dx

=-14ln|cos2x|-14lnsec2x+tan2x+12x+C

=-14ln1+sin2x+12x+C。

解法4 分子分母同乘以 sinx+cosx。

∫sinxsinx+cosxdx=∫sinx（sinx+cosx）（sinx+cosx）2dx=∫sin2x1+sin2xdx+∫sinxcosx1+sin2xdx=12∫1-cos2x1+sin2xdx+12∫sin2x1+sin2xdx

=12∫11+sin2xdx-14∫11+sin2xd（1+sin2x）+12∫dx-12∫11+sin2xdx=-14ln1+sin2x+12x+C。

解法5 ∫sinxsinx+cosxdx=∫sin（x+π4-π4）2sinx+π4dx

=∫22sinx+π4-22cosx+π42sinx+π4dx=12∫dx-12∫1sinx+π4dsinx+π4

=12x-12lnsinx+π4+C。

解法6 ∫sinxsinx+cosxdx=∫cos（x-π4-π4）2cosx-π4dx

=∫22cosx-π4+22sinx-π42cosx-π4dx=12∫dx-12∫1cosx-π4dcosx-π4=12x-12lncosx-π4+C。

解法7 将原积分化为∫11+cotxdx，只要求出这个积分即可。

因为21+cotx=（csc2x-cot2x）+11+cotx=csc2x1+cotx+1-cotx。

∫11+cotxdx=12∫11+cotxd1+cotx+12∫dx-12∫cotxdx

=-12ln1+cotx+12x-12lnsinx+C=12x-12ln|sinx+cosx|+C。

三、结 语

从不定积分的不同解法中，不断领悟解题要领，在高等数学教学中坚持下去，就可以做到“举一反三、触类旁通”之效，本文给出的解法权作抛砖引玉，与同行交流学习。

[参考文献]

[1]同济大学数学教研室。高等数学（上册，第四版）[M]。北京：高等教育出版社。1996。12。

[2]西北工业大学高等数学教研室。高等数学（上册）同步学习辅导[M]。西安：西北工业大学出版社。2001。08。