行列式理论的若干反例研究

丁嘉程

[摘要]高等代数的内容抽象，概念定理多，学习有一定难度。 通过研究“反问题”和构造反例，有利于正确理解掌握概念和定理。 本文对高等代数中行列式理论的若干反问题及反例进行了研究，通过具体的例子说明如何确定命题的真假，并对假命题举出反例且加以修正，这无疑有利于加深对相关概念与性质的理解。

[关键词]克拉默法则；行列式；矩阵；线性方程组

对于高等代数的学习者来说，对一个错误的命题举出反例，并加以改正，给出严格证明，来肯定改正后命题的正确性，是非常必要和重要的一件事情。 同样地，也可以对原本正确的命题加以改动，例如去掉、增加或变化一些条件，对有关联的命题进行融合叠加，改动后的命题正确则证明，错误则举出反例。 本文对高等代数中行列式理论的若干反问题及反例进行了研究，通过具体的例子说明如何确定命题的真假，并对假命题举出反例且加以修正，这无疑有利于加深对相关概念与性质的理解。

例1 根据克拉默法则，有如下结论：若齐次线性方程组的系数矩阵的行列式不等于0，那么它只有零解。 其逆命题为齐次线性方程组只有零解，则方程组的系数矩阵的行列式不等于0。

通过研究发现，这个逆命题是假命题。 即齐次线性方程组只有零解时，方程组的系数矩阵的行列式也可能等于0，反例如下：

设aij全为整数，则方程组

a11x1+a12x2+…+a1nxn=2-1x1a21x1+a22x2+…+a2nxn=2-1x2……an1x1+an2x2+…+annxn=2-1xn

只有零解。 事实上，令

f（λ）=a11-λa12…a1na21a22-λ…a2nan1an2…ann-λ=（-1）nλn+b1λn-1+…+bn-1λ+bn，

则由于aij为整数，故 b1，…，bn-1，bn均为整数。 将原方程组移项后即知，其系数行列式为f（2-1）=（-1）n2-n+b22-n+1+…+bn-12-1+bn，若f（2-1）=0，则由上式得2（b1+2b2+2n-1bn）=（-1）n+1。矛盾！故f（2-1）≠0，从而方程组只有零解。

在这个命题中，并没有要求这个齐次线性方程组的系数矩阵的行列式不等于0，而用条件系数aij为整数加以限制，同样得出方程组只有零解。 可见若齐次线性方程组的系数矩阵的行列式不等于0，那么它只有零解的逆命题是错误的，必须加上其他条件对其修正后才能得出正确结论。

例2 克拉默法则应用的前提条件为系数矩阵必须为方阵的方程组。 而当对命题条件进行修改，方程组的未知量个数与方程个数不相等时，克拉默法则无法应用，则表示修改后的命题为假命题。 此时，考虑将克拉默法则进行推广，使其在系数矩阵不为方阵的情况下也适用。 我们给出以下命题：

命题 设A为m×n实矩阵，b为m×1列向量，若R（A）=n，则线性方程组Ax=b与ATAx=ATb均有唯一解，且同解，其解为x=（ATA）-1ATb。

为了证明该命题，首先给出一些结论。

引理1 设A为m×n实矩阵，则线性方程组Ax=0与ATAx=0同解，其中AT是矩阵A的转置矩阵。

证明 若x满足Ax=0，则有AT（Ax）=0，即（ATA）x=0；反之，若x满足（ATA）x=0，则xT（ATA）x=0，即（Ax）T（Ax）=0，而（Ax）T为行向量，Ax为列向量，容易得到Ax=0。 综上所述，方程组方程组Ax=0与（ATA）x=0同解。

推论2 设A为m×n实矩阵，则R（A）=R（ATA，ATb）=R（AT（Ab））≤R（AT） =R（ATA），其中R（A）是矩阵A的秩。

注意到R（ATA）≤R（ATA，ATb）=R（AT（Ab））≤R（AT）=R（ATA），R（ATA，ATb） =R（ATA），即线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，可得

引理3 设A为m×n实矩阵，b为m×1列向量，则ATAx=ATb一定有解。

根据引理3，容易得到克拉默法则的推广：

定理4 设A为m×n实矩阵，b为m×1列向量，若R（A）=n，则线性方程组Ax=b与ATAx=ATb均有唯一解，且同解，其解为x=（ATA）-1ATb。

证明 由于A为m×n实矩阵，b为m×1列向量，由引理3可知，（ATA）x=ATb一定有解，由于A为m×n实矩阵，又因为R（A）=n，由推论2知，R（ATA）=R（A）=n，从而ATA可逆，且线性方程组ATAx=ATb均有唯一解，且它的解为x=（ATA）-1ATb。得证。

对于推广之后的克拉默法则，无论方程的未知量的个数与方程的个数是否相等，均可以将方程的解解出，如

例3 解线性方程组x1+2x2-3x3+2x4=4，2x1-3x2+4x4=9，-x2-2x3+2x4=-4，x1+3x2-2x3+6x4=0，3x1-2x3=-3。

解 在此线性方程组AX=0中，系数矩阵A是5×4型矩阵，且R（A，b）=R（A）=4，所以方程组有唯一解，但系数矩阵不是方阵，故将该线性方程组的求解化为如下线性方程组的求解：ATAX=ATb。故

120132-3-130-30-2-2-22416012-322-3040-1-2113-2630-20x1x2x3x4=120132-3-130-30-2-2-22416049-40-3，

整理得15-1-1116-123-109-11-1021-20169-2057x1x2x3x4=13-15240，解得x1=0。5347，x2=-0。5581，x3=1。0797，x4=1。0186。

值得注意的是，这个推广的命题必须建立在方程组只有唯一解的情况下应用。若方程组存在无穷多组解，则只能根据方程组的增广矩阵的秩判断，不能用克拉默法则去求该方程组的解。

例4 已知行列式具有性质：如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式对应的行一样，即a11a12…a1nb1+c1b2+c2…bn+cnan1an2…ann=a11a12…a1nb1b2…bnan1an2…ann+a11a12…a1nc1c2…cnan1an2…ann。

若变化命题，改为某两行分别是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这两行以外全与原来行列式对应的行一样，即将原来的等式改为a11a12…a1nb1+c1b2+c2…bn+cnd1+p1d2+p2…dn+pnan1an2…ann=a11a12…a1nb1b2…bnd1d2…dnan1an2…ann+a11a12…a1nc1c2…cnp1p2…pnan1an2…ann，则命题错误，举反例如下：

12342+22+33+44+51+13+21+31+26145=-22，

1234223413116145+1234234512326145=-4-16=-20，

命题错误。修改可得正确命题，当某两行分别是两组数的和时，这个行列式就等于四个行列式的和，而这四个行列式除这两行以外全与原来行列式对应的行一样，且等式如下：

a11a12…a1nb1+c1b2+c2…bn+cnd1+p1d2+p2…dn+pnan1an2…ann=a11a12…a1nb1b2…bnd1d2…dnan1an2…ann+a11a12…a1nb1b2…bnp1p2…pnan1an2…ann+a11a12…a1nc1c2…cnd1d2…dnan1an2…ann+a11a12…a1nc1c2…cnp1p2…pnan1an2…ann。

在行列式的学习中，我们学习了许多有关行列式的性质，若对概念一知半解，则极易造成知识点的混淆，把各类性质的条件结论混用、记错、颠倒。此时，除了对性质、定理等进行严格的证明，我们还应对可能会出现的混用情况给出简单、易于记忆的反例，从而加深理解。

例5 对于命题：若方程组a11x1+a12x2+…+a1n-1xn-1=b1，a21x1+a22x2+…+a2n-1xn-1=b2，…an1x1+an2x2+…+ann-1xn-1=bn。

有解，且方程的增广矩阵=a11…a1n-1b1an1…ann-1bn为方阵，则有=0，但反之不成立。请证明原命题，并对其逆命题举出反例。

证明 由于方程组有解，所以根据线性方程组有解判别定理可知，秩=秩A。由题，A为n×（n-1）矩阵，则秩A≤n-1，即秩≤n-1。而为n×n矩阵，所以=0，命题得证。但命题反之不成立，反例如下：

对于方程组x1+2x2=3，2x1+4x2=1，x1+2x2=3，有=123241123=0，但显然对于方程组，秩=2，秩A=1，秩≠秩A，方程组无解。

[参考文献]

[1]北京大学数学系前代数小组编。高等代数（第四版）[M]。北京：高等教育出版社，2013。8。

[2]北京大学数学系前代数小组编。高等代数习题详解（第四版）[M]。北京：高等教育出版社，2013。8。

[3]胡崇慧。代数中的反例[M]。西安：陕西科学技术出版社，1986。6。