微分中值定理的几个特殊应用

郑锦龙　郑苍松　郭召　马瑞丹　王珊珊

[摘要]微分中值定理在数学分析中的地位非常重要，很多重要定理的证明都要借助其来完成。本文分别给出了微分中值定理在级数收敛性的判别及恒等式的证明中的几个特殊应用。

[关键词]中值定理；级数收敛性；恒等式

一、预备知识

定理1（拉格朗日中值定理） 如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a，b）内至少存在一点ξ∈（a，b），使得

f（a）-f（b）=f′（ξ）（b-a）

成立。

定理2（柯西中值定理） 如果函数f（x），g（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，并且g′（x）≠0，那么在（a，b）内至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）g（b）-g（a）=f′（ξ）g′（ξ）成立。

二、微分中值定理的几个特殊应用

1。在级数收敛性判别中的应用

级数收敛性的判别方法有很多种，但是对于一些复杂的级数收敛性问题，需要结合中值定理的相关知识才能解决，下文给出了具体的例子进行了说明。

例1 设f（x）在（-∞，+∞）上可微，并且对任意的x∈（-∞，+∞）有f（x）>0，|f′（x）|≤θ|f（x）|，其中θ∈（0，1）。任取a0∈R，定义：

an=lnf（an-1），（n=1，2，…）。

证明：级数∑∞i=1|an-an-1|收敛。

证明 由于f（x）在（-∞，+∞）内可微，则

|an+1-an|=|lnf（an）-lnf（an-1）|=|f′（ξ）||f（ξ）||an-an-1|。

其中ξ介于an与an-1之间，因此，有an+1-an|an-an-1|=|f′（ξ）||f（ξ）|。

又因为由题设条件可知|f′（x）|≤θ|f（x）|，其中θ∈（0，1）。

所以，|an+1-an||an-an-1|=|f′（ξ）||f（ξ）|≤θ|f（ξ）||f（ξ）|=θ<1。

综上所述，由正项级数的达朗贝尔判别法知：级数∑∞i=1|an-an-1|收敛。

2。在恒等式证明中的应用

恒等式的证明一般比较难、技巧性比较强，有些恒等式的证明需要多次利用中值定理。还有一些证明需要先构造辅助函数，再利用中值定理进行证明，下文给出了恒等式证明中的两个特殊应用。

例2 设f（x）在[a，b]，（a>0）上连续，在（a，b）内可微，且f′（x）≠0。证明：

存在点ξ，η，ζ∈（a，b），使得f′（ξ）f′（ζ）=ηξ。

证明 由题设条件易知f（x）及lnx在区间（a，b）上满足柯西中值定理的条件，因此，有

f（a）-f（b）lna-lnb=f′（ξ）1ξ，ξ∈（a，b）（1）

对（1）式等号左边分子、分母分别用拉格朗日中值定理，得：

f（b）-f（a）=f′（ζ）（b-a），其中ζ∈（a，b）（2）

ln（b）-ln（a）=1η（b-a），其中η∈（a，b）（3）

将（2）、（3）式都代入（1）式，化简、整理，得：

f′（ζ）1η=f′（ξ）1ξ（4）

所以，由（4）化简得：f′（ξ）f′（ζ）=ηξ。

例3 若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间内（a，b）可微，且f（a）=f（b）=1，则存在ξ，η∈（a，b），使得eξ-η[fn（ξ）+nfn-1（ξ）f′（ξ）]=1，其中n为正整数。

证明 令F（x）=exfn（x），G（x）=x，易知F（x），G（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可微且G′（x）=1≠0，G（a）≠G（b），由柯西中值定理得：

存在ξ∈（a，b）使得F（a）-F（b）G（a）-G（b）=F′（ξ）G′（ξ），即有

ebfn（b）-eafn（a）b-a=neξfn-1（ξ）f′（ξ）+eξfn（ξ）1（5）

由题设条件知f（a）=f（b）=1，将其代入（5）式得：

eb-eab-a=eξ[fn（ξ）+nfn-1（ξ）f′（ξ）]（6）

因为ex在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，则存在η∈（a，b）使得

eb-ea=eη（b-a），从而eη=eb-eab-a，将其代入（6）式得：

eη=eξ[fn（ξ）+nfn-1（ξ）f′（ξ）]。

所以，eξ-η[fn（ξ）+nfn-1（ξ）f′（ξ）]=1。

[参考文献]

[1]华东师范大学数学系编。数学分析[M]。北京：高等教育出版社，1991。

[2]黄玉民，李成章。数学分析[M]。北京：科学出版社，1999。

[3]裴礼文。数学分析中的典型问题与方法[M]。北京：高等教育出版社，2003。