从中考一次函数应用题解答谈数学模型构建
2016-05-14柯贤华
柯贤华
【摘 要】一次函数型应用题是中考数学重要内容之一。影响初中生解数学应用题的主要原因是未能将所学的数学模型用于解决实际问题。由实际问题建立关于一次函数的相关模型是解决此类问题的关键。
【关键词】初中数学；应用题；数学模型；一次函数；案例
研究近几年的中考数学试题看出，考查联系实际、贴近生活、用数学知识解决实际问题的一次函数型应用题成为中考数学重要内容之一。但实际教学中，许多初中生，对于运用数学知识解决实际问题感到困难重重，难以入手，以至于在考试中不知所措，失分较多，中考成绩不理想，影响了今后的数学学习。
一、影响初中生解数学应用题的原因分析
影响初中生解数学应用题的主要原因是未注重应用题背景的创设意图，解应用题就题论题现象严重，轻视能力的培养，解应用题未进行生活语言和数学语言的转化，未能将所学的数学模型用于解决实际问题，这些是我们亟待解决的问题。下面以陕西近几年中考数学一次函数型应用题为例进行分析。
二、中考一次函数型应用题解题案例与评析
（一）案例1——方案设计问题
1.题目展示（2015·陕西21题）
胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x人。
（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式；（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家。
2.解法简析
分析：（1）根据总费用等于人数乘以打折后的单价，易得y甲=640×0.85x，对于乙两家旅行社的总费用，分类讨论，当0≤x≤20时，y乙=640×0.9x；
当x>20时，y乙=640×0.9×20+640×0.75（x﹣20）；
（2）把x=32分别代入（1）中对应得函数关系计算y甲和y乙的值，然后比较大小即可。
解：（1）甲两家旅行社的总费用：y甲=640×0.85x=544x；
乙两家旅行社的总费用：当0≤x≤20时，y乙=640×0.9x=576x；
当x>20时，y乙=640×0.9×20+640×0.75（x﹣20）=480x+1920；
（2）当x=32时，y甲=544×32=17408（元），y乙=480×32+1920=17280，
因为y甲>y乙，所以胡老师选择乙旅行社。
3.评析
本题考查了一次函数的应用，利用实际问题中的数量关系建立一次函数关系，特别对乙旅行社的总费用要采用分段函数解决问题是关键。
（二）案例2——分段函数问题
1.题目展示（2014·陕西22题）
小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用。设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y（元），所寄樱桃为x（kg）。
（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知小李给外婆快寄了2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？
2. 解法简析
分析：（1）根据快递的费用=包装费+运费，由分段函数，当0
（2）由（1）的解析式可以得出x=2.5>1代入解析式就可以求出结论。
解：（1）由题意，当0 当x>1时，y=28+10（x﹣1）=10x+18； 所以，y=； （2）当x=2.5时，y=10×2.5+18=43. 因此，这次快寄的费用是43元。 3.评析 本题考查了分段函数的运用，一次函数解析式的运用，由自变量的值求函数值的运用，求函数的解析式是解答本题的关键。 三、数学模型构建的实践与认识 以上评析了方案设计、分段函数问题的一次函数型应用题，近年来中考数学的热点还有与表格结合的一次函数型应用题、与最值有关的一次函数型应用题、与图像结合的一次函数型应用题等等。一次函数型应用题，综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，考查了数形结合、转化、分类讨论、数学建模等数学思想，解题的关键是读懂领会题意，分清数量之间的关系，把实际问题转化为数学问题，准确建立数学模型。 所谓数学模型，就是根据特定的研究目的和问题，采用形式化的数学语言，去抽象地，概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程。 这一过程用如下图来体现：实际问题→抽象为数学问题→建立数学模型→解决数学问题→得到数学结果→解释实际问题。以上步骤可概括为三个环节：一是“从现实生活或具体情境中抽象数学问题”。这说明发现问题是数学建模的起点；二是“用数学符号建立表示数学问题中的数量关系和变化规律”。在这一步中，学生要通过分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，完成模式抽象，得到模型，这是建模最重要的一个环节；三是通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。 模型思想的渗透是多方位的，模型思想的感悟应蕴含于日常数学教学之中，这是培养初中生建立数学模型的宗旨。
