《钉子板上的多边形》教学实录

张超

【教学内容】

苏教版义务教育教科书《数学》五年级上册第108～109页。

【教学目标】

1.让学生在操作、观察、猜测、验证等活动中，发现在钉子板上围出的多边形与它的边所经过的钉子数，以及多边形内部钉子数的关系，会用含有字母的式子表示发现的规律。

2.让学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程中，进一步感受数学抽象的意义，培养比较、分析和简单推理的能力，增强发现问题、提出问题的意识，积累数学活动经验。

【教学重点】

探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。

【教学难点】

综合和归纳多边形的面积与多边形上钉子数、内部钉子数之间的关系。

【教学准备】

学生准备钉子板、橡皮筋，教师准备课件、研究单等。

【教学过程】

一、引入问题，揭示课题

师：同学们，你们喜欢做游戏吗？（喜欢）今天的数学学习就让我们从游戏开始。

瞧，这是什么？（课件出示钉子板图）

生：钉子板。

师：用钉子板可以做什么呢？

生：可以在钉子板上围图形。

师：好，现在请大家在自己的钉子板上围出一个自己喜欢的多边形。（学生自主围一围）谁来给我们展示一下：你围出的是什么样的多边形？

生1：我围出的是个直角三角形。

师：如果相邻的两个钉子之间的距离是1 cm，你能算出：围出的这个多边形的面积是多少吗？

生1：根据三角形的面积公式算出它的面积是4 cm2。

师：请你再数一数：你围出的这个多边形的边上有多少枚钉子？

生1：8枚。

师：谁能像这样完整地说一说？好，请你来。

生2：我围出的是个直角梯形，它的面积是6 cm2，边上有10枚钉子。

……

小结：刚才，同学们都各自围出了一个多边形，从刚才三位同学的汇报中，我们发现：他们围出的图形各不相同，它们的面积和所围出多边形边上的钉子数也不同。多边形的面积似乎与它边上的钉子数存在着一定的关系，那么，到底有着怎样的关系呢？今天这节课，我们就一起来研究《钉子板上的多边形》（板书课题）。

二、分层探索，发现规律

（一）引导尝试，初步感知

1.出示下图，引导学生观察

师：刚才看到同学们在钉子板上都围出了自己喜欢的多边形，我也忍不住动手围出了几个多边形，并把它们拍了下来。（课件出示图形）

师：请你们帮我看看：这些多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的钉子各有多少枚？先数一数、算一算，再与同学说说你的想法。（生数、算、说，师巡视。）

2.汇报交流，完成表格

师：有想法了吗？它们的面积分别是多少呢？（指名说，随着学生的回答，完成表格。）现在我们一起来数一数每个多边形边上的钉子数分别有多少枚？（学生随着课件动态闪烁一起数）

3.观察数据，比较发现

师：请同学们仔细观察这张表格，你们能发现什么？把你的发现先和你的同桌说一说。（同桌互说）

师：谁愿意和大家分享一下你的发现？（指名说）

生1：我发现多边形边上的钉子数是多边形的面积的2倍。

师：嗯，请坐。你说。

生2：我发现多边形的面积是多边形边上钉子数的一半。

师：是吗？请你说。

生3：我也发现多边形的面积是多边形边上钉子数的一半，我还发现这些多边形有个共同的地方：多边形里面都有一枚钉子。

师：说得真好，请大家把掌声送给他……

师：好，谁来说说你的想法？（指名说）随着学生的回答，板书：a=1，S=n÷2。

小结：刚才，同学们通过观察、填表、分析数据，找出了多边形内有1枚钉子时，多边形的面积与钉子数的关系。真的很了不起！

（二）深入探究，寻找规律

1.提出问题，引发思考

师：请你们想一想：如果多边形内有2枚钉子时，多边形的面积与多边形边上的钉子数又有着什么关系呢？请大家分组合作探究。

2.小组合作，探究规律。

（1）课件出示合作要求，并指名一学生读一读。

（2）分组探究，师行间巡视。

3.汇报交流，发现规律。

得出结论：a=2，S=n÷2+1。

师：同学们，真的很棒！大家在组长的带领下通力合作、自主探究，发现了规律。让我们把掌声送给自己，祝贺我们了不起的发现！

（三）引导猜想，概括规律

1.引发猜想

师：通过刚才的研究，我们发现：当多边形内钉子数a=1，S=n÷2；a=2，S=n÷2+1。请你们联系这里的规律猜一猜：如果多边形内有3枚钉子时，它的面积与多边形边上的钉子数又有怎样的关系呢？先把你的想法和你的同桌说一说。

……

2.画图验证

3.汇报交流

师：通过举例验证，我们发现：当多边形内有3枚钉子时，多边形的面积S=n÷2+2。（擦去板书中的“？”）

4.得出结论

师：同学们，请大家观察黑板上的关系式，你们能发现什么？如果a=4，面积与钉子数会是什么关系？a=5呢？当a=m呢？（指名说）随着学生的回答，完成板书：S=n÷2+m-1。

仔细观察黑板上的这些关系式，你们能发现什么？你能用一个表达式概括出钉子板上多边形的面积与钉子数的关系吗？（指名说）板书：S=n÷2+a-1。同学们，很聪明！……课后，请大家画图验证规律。

5.拓展延伸

师：其实，我们今天研究的规律是历史上著名的“格点面积”：我国数学家闵嗣鹤曾写过这方面的一本著作叫做《格点和面积》，也是数学史上著名的皮克定理，有兴趣的、想进一步了解的同学可以上网查找相关资料阅读。

三、总结回顾，交流体会

师：回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？（指名说）

小结：在数学学习活动中，我们体验到了“数学好玩”，在今后的学习中，希望大家能“玩好数学”。

编辑 段丽君