轻轻挑开分类讨论思想的面纱

刘思武

【摘要】 分类讨论思想在初中数学经常涉及，有着广泛的应用，其具有很强的综合性、逻辑性、探索性，分类讨论思想不仅仅是一种数学思想、解决问题的工具，对学生能力的考查也有很高的要求，导致学生在解答分类讨论题时经常出现“不会或者不全”，原因主要是学生不知道为何分类讨论，怎么做.笔者根据自己平时的教学，谈谈如何让学生更好掌握分类讨论思想.

【关键词】 分类讨论思想；分类讨论；概念

一、学生的分类之“殇”

学生常见错误

学生在分类讨论思想应用上常见的错误大致有这几类：

（一）分析问题时分类讨论思想的意识不强

一个问题基本涵盖条件和结论，分类讨论终究是条件的不确定，导致正确结论无法得出，

这时就需要分类讨论，确定条件.例如：一个等腰△ABC中∠A = 80°，那么这个三角形中∠B是多少度？这是一道初中与等腰三角形有关的常见的题型，但是此题不见得所有学生都能解答出全部情况.部分学生认为∠A是顶角，所以理所当然得出∠B是底角，从而得出其度数为50°.

（二）分类讨论的原则不清

在上面的题中∠A是底角还是顶角呢？∠A的属性不清，这时需要对∠A进行讨论.当∠A是顶角时，∠B只能是底角，从而得出∠B = 50°.当∠A是底角时，此时部分学生会理所当然的想到∠B是顶角，但是还没有对∠B进行讨论，就会遗漏其他情况.

（三）审题不清，主观臆断

已知函数（为常数）与轴有公共点，求的取值范围.此题考查一次函数与二次函数的概念，学生审题不清，单从形式上认为本题的函数是二次函数，给出这一题的解很多是根据判别式从而得出的范围.

二、分类讨论思想

（一）到底是什么

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想.

（二）数学课本中常见分类讨论思想

初中数学课本中已经较多见到分类讨论思想的应用，如有理数这一章的学习，都反复出现分类的“身影”.有理数比较大小，可以分为正数和正数、正数和0、正数和负数、负数和0，负数和负数这几类来进行，绝对值的学习等.七年级作为初中的起始就出现了分类讨论，后面更是频频出现其“身影”， 可见分类讨论思想在知识体系中的重要地位.苏科版八年级上第一章《全等三角形》探究全等三角形的条件时也涉及了分类讨论的思想，教师在讲授时应该引导学生分别探究一对元素、两对元素、三对元素时三角形是否全等，同时还需要对每种情况再进行分类讨论，最后总结得出正确结论；苏科版九年级上第二章《圆》，在探究点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系；函数在定义域上的单调性的讨论，也是分类讨论思想的较好体现.

（三）教师之任

由于在现行教材的知识体系当中，并没有专门的章节介绍分类讨论的数学思想，但它却贯穿于整个知识体系的始终，主要靠教师在传授知识的过程中逐步渗透这一数学思想.

而小结课、复习课是系统知识、深化知识的最佳课型，也是渗透分类思想、学会分类方法的最佳时机.应尽可能的将所学知识系统整理、分类归纳.另外，还可设计一些含有分类讨论思想的习题和练习.

三、揭开面纱

（一）深入了解，其实不难

分类讨论思想是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类讨论的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解.提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏.

明确分类讨论的动因与讨论的方法，分类时要条理分明，做到分类讨论既不重复也无遗漏，这是解答初中数学中分类讨论问题的基本方法.在解题时，要抓住分类讨论的动因，明确分类讨论的方法.运用分类讨论方法解题的关键就是思辨清楚讨论的动因与讨论的方法，就是为什么要讨论？怎样讨论？思路清了，解题的框架确定了，解题就严密完整、叙述就条理分明.

（二）常见形式

分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔性.综合中考的复习规律，分类讨论的知识点常有三大类：

1. 代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限或者二次函数的取值范围等.

2. 几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.

3. 综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.

在初中数学中，有关涉及分类讨论思想的问题很多，题目也比较繁杂.这类问题有没有一种共性？解此类题目有没有一种切实可行的方法？实际上，初中数学中涉及分类讨论的问题大多是对数学概念本身的深入了解和再次挖掘，只要学生了解到这一点，分类讨论问题并不怎么神秘.

【参考文献】

钱荣妹.从等腰三角形压轴问题管窥分类讨论[J].中学数学初中版，2014.5.