APP下载

浅谈三角恒等变形的策略与方法

2016-05-14张剑洪

都市家教·下半月 2016年6期
关键词:变形公式函数

张剑洪

三角函数作为高中数学主干知识,在每年的高考解答题中都进行了考查,主要分为以下几类:一是考查三角函数的图象和性质,尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、对称分析(对称中心、对称轴);二是考查三角函数式的恒等变形(化简求值);三是考查正弦定理和余弦定理;四是考查综合与应用,运用三角知识解决实际问题及三角知识与立体几何、解析几何、平面向量、数列等综合命题,

体现三角的工具性作用。为了更好地解决此类问题,本文对三角恒等变形及其应用作一总结分析。

三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化,而转化的依据就是一系列的三角公式,因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足够的了解:①同角三角函数关系——可实现函数名称的转化;②诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以实现角的形式的转化;③倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的升幂或降幂的转化,同时也可完成角的转化。

三角函数的恒等变形的通性通法是:从函数名、角、运算三方面进行差异分析,常用的技巧有:切割化弦、降幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次等。下面通过例题的解题证明,对三角恒等变形的解题策略与方法作初步的探讨研究。

一、变换函数名

对于含同角的三角函数式,通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式,通过“切割化弦”、“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类,这就是变换函数名法。它实质上是“归一”思想,通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。

例1:已知,,求的值.

.

六、添补法

与代数恒等变换一样,在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂项会使某些问题很便利地得以解决。将原式“配上一个因子,同时除以这个式子也是添补法的一种特殊情形”。

例9:求的值.

分析:题中的三个角成倍数关系,添加一项可以实现降幂升角从而解决问题.

解:

.

以上探讨了三角变换中的六种变换思想和解题方法,在实际解题中这些方法是交织在一起的,混合于同一问题中灵活使用。掌握这些变换方法的前提是熟悉公式,善于公式的变形运用,同时注意纵横联系数学知识用发散性的思维考虑问题。

三角恒等变形在整个初等数学中涉及面广,是常用的解题工具,而且由于三角公式众多,方法灵活多变,若能熟练掌握三角恒等变形的技巧,不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解,而且对发展数学逻辑思维能力,提高数学知识的综合运用能力都大有益处。

猜你喜欢

变形公式函数
组合数与组合数公式
排列数与排列数公式
变形记
不会变形的云
会变形的饼
关于函数的一些补充知识
高中数学中二次函数应用举隅オ
无独有偶 曲径通幽
“两两三三”解决天体问题
三角函数式的求值