例析古典概型题

黄希

不放回地取球问题

例1 盒子里面放有大小形状相同的[a]个白球、[b]个黑球，从中依次不放回地任意取出[k]个球，求：

（1）第[k]次取出的恰好为白球的概率；

（2）第[r]次取出的为白球且第[k]次取出的为黑球的概率[r

分析 （1）设想将球编号，一个一个不放回地取出，直到第[k]次取到白球为止，则基本事件总数就是从[a+b]个编号的球中选出[k]个球进行排列，即[Aka+b]. 要使[A]发生，只需要从[a]个白球中选出一个放在第[k]个位置上. 作为第[k]次取出来的球，前面的[k-1]个位置可以任意放余下的球，因此[A]事件包含[A1a?Ak-1a+b-1]个基本事件.

（2）同（1），基本事件总数就是从[a+b]个编号的球中选出[k]个球进行排列. [B]事件要求是：第[r]个球是白球，有[A1a]种排法；第[k]个球是黑球，有[A1b]种排法；剩余位置可以从剩余的球中选取[k-2]个来排列. 因此[B]事件包含[A1a?A1b?Ak-2a+b-2]个基本事件.

解 （1）设第[k]次取出白球的事件为[A]，

则所求概率为[P（A）=A1a?Ak-1a+b-1Aka+b=aa+b].

（2）设第[r]次取出白球且第[k]次取出黑球的事件为[B]，则所求概率为[P（B）=A1a?A1b?Ak-2a+b-2Aka+b=ab（a+b）（a+b-1）.]

例2 一个袋子中装有大小形状完全相同的[a]个白球、[b]个黑球，从袋子中随机取出[n]个球，求：

（1）取出的球中恰有[k]个白球的概率；

（2）假设袋中另有[c]个红球，取出的[n]个球中恰有[t]个白球，[m]个黑球的概率，其中[1≤t+m≤a+b].

分析 在这一模型中，摸球的最终结果，与取出球的数量有关，而与球的排列顺序无关.

（1）从[a+b]个球中不计顺序地取出[n]个球，所有的可能有[Cna+b]种. 在取出的[n]个球中恰有[k]个白球，这[k]个白球从[a]个白球中取，剩下的[n-k]个球只能是从[b]个黑球中取出的，所以事件[A]有[Cka?Cn-kb]种取法.

（2）从[a+b+c]个球中取出[n]个球，则所有可能取法有[Cna+b+c]种. 在[n]个球中包含[t]个白球，[m]个黑球，剩下的是[n-t-m]个红球，则[B]事件有[Cta?Cmb?Cn-t-mc]种取法.

解 （1）设取出的球中恰有[k]个白球为事件[A]，

则所求的概率为[P（A）=Cka?Cn-kbCna+b.]

（2）设取出的[n]个球中恰有[t]个白球，[m]个黑球为事件[B]，

则所求的概率为[P（B）=Cta?Cmb?Cn-t-mcCna+b+c.]

有放回地取球问题

例3 某袋中装有大小形状完全相同的[a]个红球、[b]个蓝球，用有放回地抽取方式从中依次抽取出[n]个球，求：

（1）第[k]次取出的是红球的概率；

（2）第[k]次才取到红球的概率；

（3）前[k]次中能取到红球的概率，其中[k≤n≤a+b.]

分析 （1）第[k]次取到的是红球，就意味着前[k-1]次就是在[a+b]中取出一个球就可以了，无论是红球还是蓝球；然后第[k]次在[a]个红球中取出一个红球就可以了，故第[k]次取出的是红球有[a+bk-1?C1a]种取法.

（2）第[k]次才取到红球，则前面的[k-1]次都不是红球而是蓝球，故第[k]次才取到红球有[bk-1?C1a]种取法.

（3）前[k]次能取到红球的对立事件是前[k]次取到的都是蓝球，有[bk]种取法，因此前[k]次取到的都是蓝球的概率为[bka+bk].

解 （1）设第[k]次取出红球的事件为[A]，

所求概率为[P（A）=a+bk-1?C1aa+bk=aa+b.]

（2）设第[k]次才取到红球为事件[B]，

则所求的概率为[P（B）=bk-1?C1aa+bk=bk-1?aa+bk.]

（3）设前[k]次中能取到红球为事件[C]，

则所求的概率为[P（C）=1-bka+bk.]

分球入盒问题

例4 将[n]个球随机放入[N]个箱子中（[N≥n]），求下列事件的概率.

（1）指定[n]个箱子各放一球；

（2）每个箱子中最多放入一个球；

（3）第[i]个箱子不是空的；

（4）第[i]个箱子恰好放入[k][k≤n]个球.

分析 根据题目条件知，每个球都可以放入[N]个箱子中的任意一个箱子中，有[N]种放法.可以得到[n]个球随意放入[N]个箱子中有[Nn]种放法.

（1）指定的[n]个箱子中各放一球就相当于[n]个球的全排列，有[n！]种不同的放法.

（2）从[N]个箱子中任意选出[n]个箱子，有[CnN]种选法；然后在选出的[n]个箱子中每个箱子里放一个球，有[n！]种放法. 事件[B]就有[CnN?n！]种放法.

（3）题目要求第[i]个箱子不空，即第[i]个箱子至少要放入一个球，直接计算时分类较多，因此考虑求其对立事件第[i]个箱子为空的概率.由于第[i]个箱子是空的，于是要把[n]个球随机放入其余的[N-1]个箱子中，有[N-1n]种放法，所以第[i]个箱子为空的概率为[P=N-1nNn].

（4）先从[n]个球中选出[k]个球放入第[i]个箱子中，有[Ckn]种不同的选法；再把余下的[n-k]个球任意放入其余的[N-1]个箱子中，有[N-1n-k]种放法. 因此第[i]个箱子恰好放入[k]个球有[Ckn?N-1n-k]种放法.

解 （1）设指定的[n]个箱子中各放一球为事件[A]，

所求的概率为[P（A）=n！Nn.]

（2）设每个箱子中最多放一个球为事件[B]，

所求概率为[P（B）=CnN?n！Nn.]

（3）设第[i]个箱子不空为事件[C]，

所求概率为[P（C）=1-P=1-N-1nNn.]

（4）设第[i]个箱子恰好放入[k][k≤n]个球为事件[D]，

所求概率为[P（D）=Ckn?N-1n-kNn.]

有放回地随机取数

例5 从2，3，4，5，6，7，8这7个数字中依次有放回地抽取4个数字，试求下列事件的概率.

（1）[A=取出的4个数字完全不同]；

（2）[B=取出的4个数字不含3和7]；

（3）[C={取出的4个数字中至少出现一次4}].

分析 从7个数字中依次有放回地抽取4个数字，所有可能的结果有[74]种.

（1）抽取的4个数字都不相同，所以[A]事件包含的结果个数可以看成是从7个数字中取出4个的排列[A47].

（2）若抽取的数字不含3和7，相当于从剩余的5个数字中随机抽取4个数字. 因为是有放回地抽取，所以事件[B]有[54]种结果.

（3）若4个数字中至少出现一次4，直接计算情况较多，因此考虑求其对立事件，即[C=]{[4]个数字中没有出现4}. 也就是说要从没有4的6个数字中有放回地任意选出4个数字，有[64]种. 因此，[4]个数字中没有出现4的概率为[6474].

解 （1）[PA=A4774≈0.3499.]

（2）[PB=5474≈0.2603.]

（3）[PC=1-6474≈0.4602.]

无放回地随机取数

例6 用数字1，2，3，4，5任意组成无重复数字的五位数，求下列事件的概率.

（1）[A=它是一个奇数]；

（2）[B=它大于34000].

分析 由5个数字组成的无重复数字的五位数，可以看作是5个数字的全排列，那么其总的事件个数为[A55].

（1）事件[A]要求组合出来的数字是一个奇数，个位数就只能是1，3，5中的一个，剩下的4个数字全排列，那[A]事件的总数就有[3×A44].

（2）事件[B]要保证五位数大于34000，若首位数字是4，5，这个五位数大于34000，有[2×A44]种取法；若首位数字是3，此时千位数字是4或5也是满足要求的，有[2×A33]种取法.

解 （1）[PA=3×A44A55=0.6.]

（2）[PB=60A55=0.5.]

例7 从2，3，4，5，6这5个数字中任意取出3个不同的数字，求下列事件的概率.

（1）[A=3个数字中不含有2和5]；

（2）[B=3个数字中不含有2或5].

分析 从5个数字中任意取出3个数字的基本事件总数为[C35]个.

（1）[A]事件要求3个数字中不含有2和5，则只能是3，4，6，所以只有一种取法.

（2）[B]事件要求3个数字中不含有2或5，不含有2有[C34]种，不含有5有[C34]种，前面两种情况中都包含了既不含有2也不含有5的情况，因此要减去重复的，所以[B]事件的个数为[2×C34-1].

解 （1）[PA=C33C35=0.1.]

（2）[PB=2×C34-1C35=0.7.]

例8 从整数0，1，2，…，9中任取4个不重复的数字排成一排，求取出的数能排成一个四位数的奇数的概率是多少？

分析 从10个数字中任取4个不重复的数字排成一排有[A410]种结果. 要组成一个四位数，首位上的数字不能是0；要满足是奇数，最后一位数字应从1，3，5，7，9中选取. 首先考虑个位数的选取共有5种可能，则可能组成[C15?A39]个数；再剔除其中0在首位上的数，因此事件[A]有[C15?A39-C15?A28]种结果.

解 设[A=排成一个四位数的奇数]，则所求概率为[PA=C15?A39-C15?A28A410=22405040=2863.]