向量在解析几何中的应用

匡婷 詹娜

平行问题

例1 过抛物线[y2=2px]焦点[F]的一条直线与抛物线交于两点[P（x1，y1）]，[Q（x2，y2）]，经过点[Q]作抛物线准线的垂线，垂足为点[M]，设抛物线的顶点为[O]，求证： [M]，[O]，[P]三点共线.

解析 由题意得，[Fp2 ，0].

[∴FP=x1-p2， y1 ， FQ=x2-p2 ，y2].

[∵ FP]与[FQ]共线，

[∴x1-p2 y2-x2-p2 y1=0].

而[x1=y122p]，[x2=y222p]，代入上式得，[y1y2=-p2].

又[M-p2 ，y2]，[∴OP=x1， y1 ， OM=-p2 ，y2].

[∵x1y2-（-p2）y1=y122py2+p2y1=y1y22py1+p2y1]

[=-p2y1+p2y1=0]，

[∴OP]与[OM]是共线向量，即[M]，[O]，[P]三点共线.

点拨 两直线平行或三点共线是解析几何中常见问题之一. 根据向量共线的充要条件解决共线（平行）问题比“斜率法”“距离法”更简单明了.

垂直问题

例2 已知椭圆[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]经过点[M（1，22）]，其离心率为[22]. 直线[l：y=kx+m]与椭圆[C]相交于[A]，[B]两点.

（1）求椭圆[C]的方程；

（2）已知直线[l]与圆[x2+y2=23]相切，求证：[OA⊥OB]（[O]为坐标原点）.

解析 （1）由题意易知，椭圆[C]的方程为[x22][+y2][=1].

（2）因为直线[l]与圆[x2+y2=23]相切，

所以[m1+k2=63]，即[m2=23（1+k2）.]

由[y=kx+m，x2+2y2=2]得，[（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0].

设点[A]，[B]的坐标分别为[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，

则[x1+x2=-4km1+2k2]，[x1x2=2m2-21+2k2].

所以[y1y2=（kx1+m）（kx2+m）]

=[k2x1x2+km（x1+x2）+m2]=[m2-2k21+2k2].

所以[OA·OB=x1x2+y1y2]=[2m2-21+2k2+][m2-2k21+2k2]

=[3m2-2k2-21+2k2]=[0].

故[OA⊥OB].

点拨 垂直关系[OA⊥OB][?OA?OB=0]是“形”化“数”、“垂直”化“数量积为零”的基本途径.

范围问题

例3 点[P]为平面直角坐标系[xOy]中一定点，过[P（1，2）]作直线[l]分别与[x]轴、[y]轴正半轴交于点[A]，[B]，求[PA?PB]的最小值.

解析 依题意可设直线[l]的方程为

[xa+yb=1（a>0，b>0）]，

则[1a+2b=1]，且[A（a，0）]，[B（0，b）].

则[PA=（a-1，-2）]，[PB=（-1，b-2）].

又[PA?PB=-PA?PB=（a+2b）-5]

[=（a+2b）（1a+2b）-5=（1+4+2ba+2ab）-5=2ba+2ab≥4，]

当且仅当[a=b]时，等号成立.

所以[PA?PB]的最小值为[4].

点拨 [PA，PB]反向时，[PA?PB=-PA?PB]，这是将[PA?PB]坐标化的基础. 同理，[PA，PB]同向时，有[PA?PB=PA?PB].

夹角问题

例4 已知抛物线[C1：x2=4y]的焦点[F]也是椭圆[C2：y2a2+x2b2=1（a>b>0）]的一个焦点，[C1]与[C2]的公共弦的长为[26].

（1）求[C2]的方程；

（2）过点[F]的直线[l]与[C1]相交于[A]，[B]两点，与[C2]相交于[C]，[D]两点，且[AC]与[BD]同向.

（i）若[AC=BD]，求直线[l]的斜率；

（ii）设[C1]在点[A]处的切线与[x]轴的交点为[M]，证明：直线[l]绕点[F]旋转时，[△MFD]总是钝角三角形.

解析 （1）[y29+x28=1].

（2）设[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，[C（x3，y3）]，[D（x4，y4）].

（i）因为[AC]与[BD]同向，且[AC=BD]，

所以[AC]=[BD].

从而[x3-x1=x4-x2]，即[x1-x2=x3-x4].

于是[（x1+x2）2-4x1x2=（x3+x4）2-4x3x4]. ①

设直线[l]的斜率为[k]，则[l]的方程为[y=kx+1].

由[y=kx+1，x2=4y]得，[x2-4kx-4=0].

而[x1，x2]是这个方程的两根，

所以[x1+x2=4k，x1x2=-4]. ②

由[y=kx+1，x28+y29=1]得，[（9+8k2）x2+16kx-64=0].

而[x3，x4]是这个方程的两根，

所以[x3+x4=-16k9+8k2，x3x4=-649+8k2]. ③

将②③代入①得，[16（k2+1）=162k2（9+8k2）2+4×649+8k2]，

即[16（k2+1）=162×9（k2+1）（9+8k2）2].

所以[（9+8k2）2=16×9]，解得[k=±64].

即直线[l]的斜率为[±64].

（ii）证明：由[x2=4y]得，[y=x2]，所以[C1]在点[A]处的切线方程为[y-y1=x12（x-x1）]，即[y=x1x2-x214].

令[y=0]得，[x=x12]，即[M（x12，0）].

所以[FM=（x12，-1）]，[FA=（x1，y1-1）]，

于是[FA?FM=x122-y1+1=x124+1>0]，

因此[∠AFM]是锐角，从而[∠MFD=180°-∠AFM]是钝角.

故直线[l]绕点[F]旋转时，[△MFD]总是钝角三角形.

点拨 对于不共线的向量[a，b]，[a?b>0?]为锐角；[a?b<0?]为钝角.