初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨

侯清乐

数学教学作为整个教学中最重要的组成部分，其主要就是提高学生的思考能力，培养学生的创新能力。而将分类讨论思想应用在解题中，其不仅以利于学生深入理解数学知识之间的内在规律性，还有利于激发学生的学习兴趣。基于此，对初中数学分类讨论思想在解题中的应用进行了深度的研究，以便给我国初中数学教师提供更多的参考资料。

关键词：初中数学教学 分类讨论思想 原则

分类讨论思想其实就是一种重要的教学思想，也是一种重要的解题策略，因其不仅可以体现了化整为零，积零为整的思想与归类整理的方法，同时也揭示着数学对象之间的内在规律，以便让学生更好的掌握文化知识。将分类讨论思想有效的应用在解题当中，可以更好的提升我国初中化学教学教学效率。

一、初中数学中分类讨论思想的应用应该遵循的原则

1.互斥性与多层性原则

互斥性原则其实就是指在分类之后，各子项应相互排斥，不能够促使其中的部分事物同属于一个子项。用一个简单例子来说明：譬如，一个班学生参加快跑与篮球比赛的学生一共有8个人，其中参加快跑比赛有5人，而篮球比赛有5人，这些都是由于两人两项比赛都有参加，若将着8人分类为参加快跑与篮球比赛两类，其主要存在逻辑性错误。除此之外，在进行初中数学解题的过程中，分类讨论又一次与多次分类讨论之分，所以将讨论的对象分作两个层次性的相互矛盾的概念，以便于更好的将枯燥无味的数学知识展示给学生，从而将数学知识逐层。

2.同一性与相称性原则

要想把分类讨论思想有效的运用到初中数学解题当中，教师应该做到以下几步：第一步，要确定分类讨论的对象，从而进行分类，并且分类的过程中一定要做到，主次清晰，不叠加，不遗漏。譬如，在对三角形进行分类的过程中，教师可以将三角形分成等腰三角形、锐角、直角三角形以及钝角三角形等等。值的注意的一点就是分类要相称，换句话说其实就是在分类之后，分类子项的并集要与母项的子集相称。

二、探讨分类讨论思想在初中数学教学中的应用

1.分类讨论思想在应用题中的运用

譬如，某家具厂主要生产桌子和椅子，桌子的市场定价大概为每张200元，而椅子的市场定价为40元，厂家为了能够提升这月的销售额，给广大消费者提供了两种购买方案，其一方案：买一张桌子送一张椅子。其二方案：桌子和椅子均按照定位的90%付款，但是两种优惠方案不能同时使用。如果某家具店老板打算购买20张桌子和椅子若把，请给家具店老板制定出一个非常划算的购买方案。

分析：由于题中没有直接的给出家具店老板要购买椅子的数量，所以，在制定方案时难免会有些麻烦。解题方式如下：

解：设家具店老板需要购买的椅子为x张，则有两种方案分别是：第一种方案，200×20+x-20）x40=3200+40x（元），第二种方案，（200x20+40x）x90%=3600+36x（元）设y=（3200+40x）-（3600+36x）=4x-400（元）而当y>0时，4x-400>0，x>100，由此可看，两种购买方案中，第二种方案比较适合。如果当y=0时，4x-400=0，x=100则两种购买方案均可以使用。而如果当y<0时，4x-400<0，20

2.分类讨论思想在三角形问题中的应用

众所周知，初中数学教学中的三角形问题中，经常运用到分类讨论的思想，因可以让学生更好的掌握数学知识，以便于更好的提升数学课堂教学效率。譬如，在已知两边长且图形为等腰三角形，求该三角形面积为周长。在此条件下，并不明确已知条件下，不知道那条底为边长，那条为腰，这时就需要进行分类讨论，方可尽快找到答案，抓住题中的关键因素，如例题：已知3cm与4cm分别为直角三角形的两边长，求直角三角形的第三边长。解此题，需要把分类讨论思想有效的应用在教学中，把分为4cm为斜边长或者一直角边长这两种情况，从而分别求出第三边长为7cm，或5cm。

3.分类讨论思想在函数问题中的实际应用

譬如，已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）若函数的图像与x轴恰好有一个交点，求a的值是多少？

分析：当此函数为一次函数时，a=0，求得与x轴交点为（-1，0）而如果当此函数为二次函数时，a不能等于0，即a=0.25时，有一个交点为（-2，0）

综合以上分类，a=0，或者a=0.25。在面对此题时，教师一定要让学生知道考核点是根据一次函数与二次函数的变换而确定存在的分类讨论必要。因由于函数中x2前的变量a不定，换句话就是a有可能就是任何一个数字，因此，要首先对a的取值进行分类讨论，其实就是a=0时的讨论方案与a不能等于0时的讨论方案。然后，要引导学生要找准a的取值范围后，继而让学生快速进入到函数的变换中，由此可以得出，当a=0时，函数为一次函数，当a不等于0时，函数即为二次函数。从上述解题可以看出，将分类讨论思想有效的应用在函数解题当中，其不仅可以让解题内容更加简单，也可以促使学生能够更快的熟悉一次函数与二次函数的区别，最终在脑中有一个简单的架构，从中得出相应的解题方案。

4.分类讨论思想在不等式问题中的实际应用

就目前的发展趋势来看，分类讨论思想在初中数学教学中得到了广泛的应用，其在不等式问题中应用最为广泛。譬如，在八年级一例题中，解不等式（h-1）x>h2-1，若不加区分，得出x>h+1就错了。因为k-1的值可以是h-1>0，h-1=0，由此可以得出，分类情况不同时，讨论的结果也就不相同。解题过程如下：

解析：当h-1>0，即为h>1时，则x>h+1.如果当h-1=0时就是h=1时，则原不等式无解。而如果当h-1<0时，其h<1时，由此可以推断出x1时，x

5.分类讨论思想在圆中的应用

圆是初中数学教学最重要的教学内容，其主要包括圆的对称性，圆与直线，等等。而在圆的对称性及位置关系的解题过程中，分类讨论思想成为了主要的解题思想。其不仅可以让学生更加明白题目中的变量及图形与图形之间的距离，而且还可以让学生在解题的过程中更加清楚知道应该采取何种解题方法进行解题，更可以促使解题结果更加准确。譬如假设半径分别为6和4的两圆相切，求两圆之间的圆心距是多少？从题中可以分析出：如果两圆为外切，则两圆之间的圆心距就是10，而如果两圆为内切，则两圆之间的圆心距就是2。所以，两圆之间的圆心距为10和2.从上述解题可以看出，分类讨论思想确实应该在教学中得到广泛的应用，以便于更好的提高学生的学习效率。

三、结束语

综上所述，将分类讨论思想应用在初中数学教学中即是新课程理念的要求，也是学生发展的需要。所以，在进行数学教学的过程中，教师一定要根据实际的教学内容有效的将分类讨论思想应用在不等式、圆以及函数的解题中，以便于让学生更好的进行解题，从而提高学生的学习效率，促进初中数学教学效率得以提升。总地来说，分类讨论思想不仅是一种深化的数学思维方式，也是一种对数学的认知能力。

参考文献：

[1]刘江华.分类讨论思想在高一数学教学中逐步渗透的实践探究[D].河北师范大学，2013.

[2]李学.分类讨论思想在初中数学教学中的应用与实践[J].散文百家，2015，（05）：64+85.

[3]袁绍建.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J].数学学习与研究，2015，（24）：136-137.