化动为静，以静制动

陈怡

[摘 要] 新课程标准倡导学生能够想象几何图形的基本运动和变化，体验、探索具体图形的位置关系和运动规律. 本节课以“运动图形中的全等三角形”为内容的教学设计为线索，从运动的角度分析和解决问题，阐释了几何图形性质的“变”与“不变”， 开阔学生思路，加深了学生对不同图形的理解.

[关键词] 全等三角形；运动图形

基本情况

1. 学情分析

本节课是一节交流公开课，授课对象是初一学生，学生的数学水平和数学素质处于中上水平，大部分学生的接受能力和思维能力都较强.

在初一下学期，学生学习了全等三角形的各种判定方法，但在全等证明的过程中，笔者发现动态问题是他们遇到的一个难点. 学生对于几何知识的理解往往比较狭隘，对于由图形本身可观察出的结论能比较迅速地得出，但对于技巧性较高的问题还需要经过一定的训练. 在教学设计中，笔者采用了低起点，逐渐递进地创设教学情境，启迪学生的思维，激发学生的情感，让学生在愉悦的学习气氛中获取数学知识.

2. 教材分析

本节课依据的教材是《义务教育课程标准实验教科书（七年级下册）》（苏教版）. 教材的第十一章为图形的全等，研究图形的全等和三角形全等的条件，重点是让学生经历探索三角形全等条件的过程，培养学生合情推理的能力. 课本分层次渗透和介绍了全等变换，展现了图形的平移、翻转、旋转三种变换的本质：只改变图形的位置，保持图形的形状和大小不变. 引导学生对全等图形有一个动态的、本质的认识，并为学生在复杂图形中寻找和识别全等三角形，提供了一个非常好的方法，有效地提高了学生的识图能力.

在全面学习了图形的全等这一章后，笔者专门针对各种动态问题进行了归纳总结. 本节课所有的几何图形都是处于运动变化中的，要求学生以全等三角形的知识为工具，来探索几何图形性质的“变”与“不变”. 解决此类问题，学生要透过现象看本质，化动为静，以静制动，抓住运动过程中的不变因素——全等关系，拾级而上，从而获得问题的答案.

教学目标：（1）从运动变化的角度来分析全等三角形. （2）学习用动态的观点去分析问题、解决问题，训练空间想象能力，激发潜在能力，逐步形成创新意识. （3）通过运用多媒体技术，让学生亲历图形的变化过程，以运动的观点直观揭示问题本质.

教学重点：以全等三角形的知识为工具探索运动图形的性质.

教学难点：向学生渗透运动变化的观点，让他们善于探索图形的运动特点，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动.

教学过程

1. 复习引入

例1：已知△ABC和△AED中， AB=AE，要使△ABC和△AED全等，你还需给出哪些条件？

图1较为容易，学生给出了判定三角形全等的各种条件. 如利用判定定理“边角边”，需要增加条件∠BAC=∠EAD，AC=AD等.

师：拖动图形，如图2，将点C与点D重合，即AC与AD重合，此时增加什么条件能使两个三角形全等？

学生能挖掘出隐含条件——公共边，并能根据教师所要求的全等三角形的判定方法，依次给出条件.

师：拖动图形，如图3，使得边CE与BD相交，此时两个三角形出现了公共部分，如何增加条件使得它们全等？

学生在教师的引导下发现图3可以比图1增加一个条件∠BAC=∠EAD，其他完全一致，从而能类比地快速给出判定三角形全等的条件.

例题1利用几何画板的动态演示，通过增加条件，帮助学生复习回顾了全等三角形的各种判定方法，引入起点较低，全班都能进入一个良好的思考氛围中.

2. 应用提高

例2：如图4，在Rt△ABC与Rt△DEF中，AB=DE，BC=EF，当顶点D在BC边上移动时，探索线段AC与DF的关系.

本题由图形可以直接观察出AC=DF这个结论，但是学生容易忽视它们之间的位置关系：垂直. 教师强调线段的关系要分数量与位置关系分别加以证明.

解决本题的关键是能把握住运动过程中的不变的东西：当顶点D在BC边上移动时，△ABC与△DEF始终全等，从而很快能证明AC垂直且等于DF.

例3：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图5的位置时，试说明：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图6的位置时，试说明：DE=AD-BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图7的位置时，试问：DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由.

师生共同分析探讨：（1）①关键是利用∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，得到∠CAD=∠BCE；②利用全等三角形对应边相等，将AD，BE转化到直线MN上的CE，CD，则它们之间的关系也就一目了然. （2）与（3）仔细观察图形分析条件，发现△ACD与△CBE 全等不变，同样可以将AD，BE转化到直线MN上的CE，CD，只不过线段大小发生了变化，则它们之间的关系也就一目了然.

教师简要板书证明过程如下：

（1）① 因为∠ADC=∠ACB=90°，

所以∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°.

所以∠CAD=∠BCE . 因为AC=BC，

所以△ADC≌△CEB（AAS）.

② 因为△ADC≌△CEB，所以CE=AD，CD=BE ，所以DE=CE+CD=AD+BE.

（2）因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，

所以∠ACD=∠CBE. 又因为AC=BC，

所以△ACD≌△CBE. 所以CE=AD，CD=BE.所以DE=CE-CD=AD-BE.

（3）当MN旋转到图7的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是DE=BE-AD 或AD=BE-DE，BE=AD+DE等.

因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，所以∠ACD=∠CBE.

又因为AC=BC，所以△ACD≌△CBE.

所以AD=CE，CD=BE，所以DE=CD-CE=BE-AD.

本题以直线MN绕点C旋转过程中与△ABC的不同的位置关系为背景设置了三个小题，解决这三个题的关键：一是利用全等三角形的性质将AD，BE转化到直线MN上的CE，CD；二是要能把握住运动过程中的不变的东西. 三个问题的解法极其类似，在直线MN绕点C旋转的整个过程中，△ACD与△CBE始终全等，这就为转化线段提供了条件. 解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的不变的特征，化动为静，以静制动，这种转化思想是研究问题的一个重要思想.

例4：如图8所示，正方形ABCD，CF是∠BCD的外角平分线，E是BC边上一动点，且AE⊥EF.求证：AE=EF.？摇？摇

教师分析：用几何画板作出图形，经分析，欲证明AE = EF，两线段所在三角形不全等，显然要构造全等，如何添加辅助线，是解决本题的关键所在.学生在操作探索中，将△CEF经旋转、平移等操作，全等变换得到如图9所示的图形.于是很容易得到如下的证明思路：如图10，在AB边上截取AM=CE，连接EM，下面只需用“AAS”证明△AME≌△ECF即可.

此时教师提出这样一个问题：若点E在直线BC上运动，仍保证AE⊥EF，是否有同样的结论？

学生容易想到有如下两种情况：

情形一：如图11所示，点E运动至BC的延长线上，在几何画板中拖动点E（请学生上来拖动鼠标演示，亲身感受），点M运动至BA的延长线上，容易得到如图12所示的图形，于是得到证明思路：如图13，延长BA至M，使AM = CE，连接ME，同样用“AAS”证明△AME≌△ECF即可.

情形二：如图14所示，点E运动至CB的延长线上，在几何画板中拖动点E或由学生全等变换操作，点M运动至AB的延长线上，容易得到如图15所示的图形，于是得到证明思路：如图16，延长AB至M，使AM = CE，连接ME，同样用“AAS”证明△AME≌△ECF即可.

3. 课后思考

例5：在等边三角形ABC的边BC上取一点E，∠AEF=60°，且EF与∠ACG的平分线交于点F. 当点E在以下位置时，探索AE与EF的关系：

（1）点E是BC的中点；

（2）点E是BC边上的任意一点；

（3）点E是BC延长线上的任意一点.

本例题在实质上与例4相同，仅仅是将上题中的正方形变成了等边三角形，运用类比法也能很快得出AE=EF这个结论.

本题作为家庭作业，留给学生课后思考，以培养学生思维的深刻性，引导学生养成爱思考的习惯，并反馈本节课的听课效果.

最后由教师进行总结：解决此类动点几何问题常常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论. 类比发现法大致可遵循如下步骤：（1）根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况；（2）结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识（常见的有三角形全等）得出相关结论；（3）类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质.

回顾与反思

1. 教学设计思路

要想上好一堂满意的数学课，最重要的是课前的教学设计. 课前的教学设计要从以下几方面加以考虑：首先要研究教学内容在该学科中的地位和作用；其次要研究学生的认知结构与认知水平，以及原有的水平；最后才能考虑选择怎样的教学方法以及学习方法，采用怎样的教学策略.

在初中的数学学习中，学生要经历从直观实验几何，实验几何到推理几何的演进过程. 新课程标准中初中阶段的课程目标要求学生能够想象几何图形的基本运动和变化，体验、探索具体图形的位置关系和运动规律，能从方向、距离、角度、几何变换等方面进行刻画. 因此，需要引导学生对静态图形展开想象，从运动的角度思考问题、解决问题，对所学知识进行整理归纳，建立知识体系，提高学习效率. 于是在初一下学期的全等的知识讲完后笔者尝试着把已经学习的图形的运动与全等三角形的知识联系起来，感知几何变换的思想，并与全等变换有机地结合起来，形成动态地研究图形的意识. 希望为从实验几何过渡到论证几何奠定基础，对进一步的学习起到一个很好的衔接作用.

在制作课件时，笔者利用几何画板，将动态演示结合学生的变换操作，让他们对运动图形有了直观认识，克服认知过程中的困难，加深理解，开阔视野和思路.

2. 教学反思

园区教研员许平老师曾强调“数学课堂可以根据学生的能力适度拓宽”. 本课中的例4涉及的正方形的具体性质将在八年级上册进行学习，但是学生在小学时已经对这种图形有所了解，因此适度拓宽完全符合学生的实际，满足了不同层次学生的需要. 教师根据教材内容的特点、学生的接受能力对课堂进行适当拓展，可以开阔学生的思路，加深学生对不同图形的理解，增强他们探究的热情和兴趣.

古希腊学者普多塔戈说过：“人脑不是一个可以灌注知识的容器，而是一个可以点燃的火把. ”上完这节公开课的感觉是：学生的学习潜能是无限的，他们的头脑就好似一座金矿，等待你去挖掘、开采. 课后，评课的教师也反映本班的学生在上课时积极主动，很爱思考问题. 在教师的引导启发下，自我探索出题目的要点，课题教学焕发出生机与活力. 新课程改革关注学生的主体性，强调突出学生的发展，在数学教学活动中，凡是学生能做到的教师绝不代替，要有意识地引导学生在数学学习的过程中亲自去感悟数学的思考方式，亲自去进行数学思维活动. 通过数学问题的解决培养学生大胆地提出问题、分析问题和解决问题的能力，进而发展学生的应用意识和创新精神，为学生的终生学习和发展打好基础.

两校评课组的教师对这节课给予了较高的评价，但静心反思，还有许多不足. 譬如，该班学生的数学能力还存在差异，尽管课前进行了准备，仍有少数思维水平较差的学生对后面两题基本处于“无为”状态. 今后，在如何因材施教、分层指导方面笔者还要多想办法. 其次，对于题目所运用的数学思想方法并未进行深入的探究与总结，还是浮于“就题论题”的层面.

新课程要求每位教师做教育教学的研究者，提出教师在教学过程中要以研究者的心态置身于课堂教学中，以研究者的眼光分析教学理论和教学实践中的各种问题. 只有如此，才能把教师由“教书匠”转变为“科研型、创新型”的教师.