评判与决策类典型问题探析

刘余猛

【摘要】评判与决策类问题是常见的数学应用问题，这类问题的解决依赖于技术性数据.通过探究随机变量的概率分布及随机变量的数字特征等是解决问题的关键.

【关键词】评判与决策；概率分布；数字特征；时间因素

评判与决策类问题是常见的数学应用问题，依赖于技术性数据，其一般步骤是：1.建立数学模型；2.解模得到关键技术性数据；3.由数据作出评判或决策返回实际问题.

引入随机变量之后，随机事件可通过随机变量的关系式表达出来，从而把随机事件代数化，进而建立随机变量的分布函数，再得到随机变量的数字特征，逐步用数据来描述随机变量的统计规律性，帮助我们发现随机事件发生的内在规律性，为我们解决实际问题提供评判和决策的依据.本文希望通过几个典型问题加以分析，说明解决决策问题时建模、解模中的常规方法和应该注意的相关因素.

一、构建适当数学模型

决策问题乃优化问题，决策的依据是相关技术性数据，故建立函数模型仍最为常见.首先建立期望与相关随机变量的函数模型；再解模；最后作出决策.

案例1 （组织货源量-连续型）设国际贵金属市场每年对我国钽的需求量是随机变量X（单位：吨），X服从U（100，200），每销售1吨的钽，可为国家赚取外汇60万美元，若销售不出去，则每吨需贮存费20万美元，问每年组织多少吨钽，才能使国家收益最大.

简析 1.根据分布的相似性，可就不同日订货量80筐、90筐、100筐、110筐，分别估算月利润的期望值；

2.比较各月利润期望，取最大值情形，从而作出决策.

注 1.涉及离散型随机变量，常建立孤立点函数，涉及连续型随机变量，常建立分段连续函数，再求此函数的最值；2.当然还有其他的数学模型，如：假设检验、线性规划等等.

二、正确判断概率分布类型

随机变量的分布具有其内在规律性，正确判定随机变量的概率分布模型与选取恰当的数据是作出正确评判和决策的关键.

案例2 （评选安全先进单位）某化工园区在安全管理评比中，有两家企业在其他方面得分相同，不同的是，A企业有1000人发生事故5起，乙企业有200人发生事故1起，两家的事故率相同，都在系统的平均范围之内，那么如何确定谁是先进呢？按事故数少而评乙企为先进，但甲企业不服，其理由是发生事故率相同究竟如何评呢？

分析 1.这里应注意判定在人数很多的情况下，随机变量发生事故数X的概率分布模型是什么，再看甲企发生5起事故的概率P（X=5）与乙企发生1起事故的概率P（X=1）的大小来下结论.

三、选择适当的数字特征

数学期望反映的是随机变量的总体平均水平，它是判断或决策类问题的主要技术数据，是首先要考虑的内容；方差反映的是随机变量的波动大小或集中度的技术数据，是辅助性的数据，在期望相同的情况下，再看方差的大小，作相应决策.

案例3 9有奖促销广告内容是否有欺诈问题，太湖啤酒厂开展秋季啤酒促销活动，价格不变，在促销啤酒的瓶盖内各印有“畅饮太湖水”五个字中的一个字，规定顾客只要收集到一套“畅”“饮”“太”“湖”“水”五字的瓶盖，即可免费领取1瓶普通太湖水啤酒.在公证处，公证的内容中说：在100万瓶盖内印有“畅”“饮”“太”“湖”“水”的啤酒各20万瓶.由此厂方在销售广告中除了说明有奖销售的办法，还加了一句吸人眼球的广告语“本次有奖促销活动中奖率高，平均买10瓶即可获奖一次”，问这句促销广告语是否有欺诈，公证处会否批准.

分析 1.设X为收集一套“畅”“饮”“太”“湖”“水”五字的瓶盖所需购买的啤酒的瓶数，我们要考察E（X）是否不大于6.

四、考虑时间的潜在价值因素

时间就是金钱，有了充足的时间，往往可以降低成本，这是容易被人忽视的因素.

案例4 （最佳分段采购策略）某工厂须在四周内采购到10万吨铁矿石，估计铁矿石每吨价格为200元的概率为0.2，300元的概率为0.55，400元的概率为0.25，试制定分阶段采购策略，使采购价格的期望最小.

故最优采购材料为第一周价格低于265元就采购否则不采购，第二周价格低于281元就采购否则不采购，第三周价格低于305元就采购，否则不采购，第四周价格无论什么价格都采购.这样，采购价格期望是252元，是最佳方案.

注 这里要从最后时间向前倒推的方法去分段探究解决.

以上用实例说明在解决评判与决策类问题中，应该重视的数学模型、数据，突出了数学期望的重要作用.说明了实际问题中应考虑时间因素及处理方法，这些都是解决评判与决策类问题中最重要的方法和值得注意的因素.

【参考文献】

[1]陆家林，李大林.应用数学[M].北京：清华大学出版社，2009，8.

[2]盛光进.实用经济数学[M].北京：高等教育出版社，2012，8.