一道最值问题解决的思维三步曲

周寅锋

【摘要】现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学，而思维能力是一切能力的核心.但是，在日常教学中，我们常常发现有些同学在数学思维上会出现种种缺陷，从而导致在学习过程中形成各种错误的认识和理解.利用均值不等式求最值，是高中数学的一个重点，而灵活使用均值不等式却成了一个难点.本文通过剖析一道典例的错解与多解及应用，与同仁一起体验数学思维活动的教学过程.

【关键词】学习；解题；思维

例 设x>0，y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值.

错解 由x>0，y>0，得1=1x+9y≥29xy=6xy，故xy≥36，当且仅当y=9x时取等号，所以x+y≥2xy≥236=12.当且仅当y=x时取等号.

所以，x+y的最小值为12.

剖析 在运用均值定理求最值时，必须考虑等号成立的条件是否具备，但当对同一个问题两次或多次运用均值定理时，还要考虑这些等号能否同时成立，或者这些等号能否传递.即错解须满足条件y=9xy=x，即x=y=0，这与已知条件矛盾.故本错解中的等号不能同时成立.

点评 均值定理在不等式的证明、求函数的最值和解决实际问题中应用非常广泛，应用这个定理求最值时，应满足“一正、二定、三等”三个条件，即各项或各因式均为正；和式或积式为定值；各项或各因式能取得相等的值；且缺一不可.

在学习数学的过程中，往往一道题会有多种解答方法，不同的分析方式会使解题的过程不一样，但整体的思考方向是一样的.学习数学最重要的就是掌握思考问题的方法.有了正确的思路，最终才能解决问题.在学习中应养成多角度思考问题的习惯，这样才能发散思维，培养思维的灵活性和创造性结合本题特点，现介绍几种解法供同仁们参考.

思维一 考虑错解因两次使用均值不等式，导致等号不能同时取到的错误，通过消元最终达到减少使用均值不等式的次数.

点评 该解法充分体现了方程思想的运用，引入参数t后，根据条件和结论之间的内在联系，将问题转化为“方程（组）必有正实数解的问题”来处理，回避了构造代数式，再运用均值定理过程，显然也是一种可取的解法.