探索等号的不对称教育

周而计

等号是小学数学学习中最常用、最基本的一种符号，从四则运算中“递等式”到解决问题中“寻找等量关系”，小学数学教育几乎是“等号教育”。

长期以来，对等号教育“不对称”的忽视，影响了学生正确地使用等号和对数学内涵的理解。所谓“不对称”，狭义上是指从认识、理解、使用等实践过程上反思，存在着与目的、目标等思想理论或学术中不相符合或匹配的现象。等号教育的不对称性可从三个方面来进行探究。

一、查阅教材：“点”上编排，并非“点到为止”

小学阶段的等号教育主要集中在“对等号的认识和使用”上，主要采取分散教学教材编排，渗透在数学的各个领域，尤其是在“数与运算”领域，“相等”或获得“相等”是最基本、最主要的数学意识和能力。

与等号的重要性不相称的是，其在教材安排上的蜻蜓点水。等号作为单一的知识点安排在教材展开之始或变化之际，即在等号使用意义变化和对“数与运算”不断深化的需要时。它一般经历了这几个阶段：第一阶段，等号是求精确值的需要。这一阶段的教学任务主要安排在低年段，借助简单具体的生活情境，在比较数的大小中引出“相等”的概念时用“=”（单指符号）。等号教育最早出现在幼儿教育的中班教材中，重点是在简单数数的基础上判断“相等与不相等”；至一年级时，又将“≠”分解成“>”“<”两种情况，在比较中抽象“=”；二年级估算的引入，尤其是“估商”，强化了等号对求精确值的意义。第二阶段，等号是解决问题的需要。这一阶段的教学任务主要安排在中年段，借助具体的数学情境，在解决问题时建构数学模型（要求综合列式），通过递等式运算过程，来反映解决问题时运算法则和定律等数学知识与技能使用的合理与合情时使用“=”。这时，对等号“相等”的理解强化了其可传递特征；尤其在简便计算或解法多样化中，等号的可逆性中蕴含着数学优化思想等。第三阶段，等号是逻辑抽象思维训练的需要。这一阶段的教学任务主要安排在高年段，借助抽象的数学情境（字母表示数、数量或数学关系），引入方程概念，丰富学生解决问题的方法和思维方式后，等号的内涵得以丰富，并在具体情境中探究“不变”或相等条件下执行“等价代换和等量平衡”的法则（如等式性质）下发生的。新教材在五年级上册安排了“等式的性质”，为解方程寻求依据，突出等号两边的地位相等和等量关系。

等号常被片面理解为：没有较复杂的抽象意义，却有寓意鲜明的形象特征。对“=”的认识，也大多停留在“只需‘略识便可‘无忧使用”的粗浅层面上。这造成教师在处理教材时，把等号教育作为简单的知识点教学一带而过。但等号教育却始终与数学内涵、数学思想的不断深入和提高纠缠在一起。

二、调查学生：“广”而用之，并非“运之掌上”

1. 等号不应是“得到”。

在算术四则运算的教学中，笔者发现相当数量的学生认为“=”只是作为表示“得到”的连接性符号，即将每一步“得到”的结果用“=”连接起来。而对“=”所蕴含着恒等可逆的观念，随年龄和学识的增加呈弱化的倾向，表现在学生逐步对计算或解决问题过程的反思、计算结果精确度和合理合情的要求失去了主动性和耐心。

2. 等号不只是“相等”。

等号表示“相等”，一般包含三层含义：①等号表示数学运算中计算结果相等；②等号表示方程两边数量关系相等；③等号表示等式两边的地位是一样的。作为精确性运算或抽象的要求，“=”是抽象性数字游戏和逻辑性思维过程的理性思考的基础，且在相当长的时间里（至少在小学阶段）处于“不变”状态，使学生对等号具有“相等”的多层含义失去活跃的理性思考。

3. 等号不只是“理性”符号。

等号是一种关系符号，在抽象性的数学环境中，具有强烈的“理性”特征。在解决问题并利用等量关系和等价代换来进行数学建模等抽象性数学思考时，“=”所表示的“抽象结果”的生活味和现实意义往往被忽视，合情性反思常让位于合理性学习。这是数学高于生活的“理性”陷阱。

对学生而言，使用“=”，如同运之掌上，习惯于其形式，而忘了其内涵。等号至少是“思维体操”的口哨，命令其进行准确的理性思考，从而获得丰富的感性体验。

三、反思教学：“深”而究之，并非“无所事事”

等号是抽象的数学符号，等号教育的本质特征是理性思考。“=”绝不应在表示运算结果时“随意”使用。不对称特征下的等号教育不再简单，应讲究策略，突出理性思考价值，丰富感性积累，规范使用习惯。

1. 符号的意义在于养成一种习惯。

在“数与运算”领域，充分发挥等号的可逆性和可传递性特征。在计算过程中，学生必须养成在运算法则、定理，等式性质下进行每一步可逆和可传递的精确运算或推理的良好习惯。计算不但要“快、准”，更要培养学生在计算过程中的计算自信。而计算自信只有在“知其所以然”的前提下才能形成。在实际计算中，可将相关的法则和定理进行数码化（编号），便于操作（标注在每一步后面）。这种数学书面表达习惯与初中的几何证明过程是一致的。也可进行逆运算或验算，即将“答案”倒推向“算式”的方程思维式练习。

2. 符号的生命源于引发思考。

在“数与形”的领域，充分利用“形”的直观来表现“数”的抽象，沟通有限与无限，生活与数学，小学与初中的知识衔接等联系。如用分数计算结果是“1”，化小数计算结果则是“0？郾999……”同一问题用两种不同方法制造了一个“美丽错误”，引发学生的学习好奇和理性思考。数学总是在“美丽错误”中不断思索、前进。

3. 符号的感觉高于生活体验。

学习数学的目标之一是使学生懂得符号的意义，会用符号解决实际问题和数学本身的问题，发展学生的符号感。在“等价代换”时，如“1粒苹果=2根香蕉”，这个数学模型中数量关系对于不同层次的学生有着不同的理解：低年级学生常理解成不同货物之间的“等价”（或公平）交换，随着学生生活和数学经验的积累，发展到从质量、体积等方面上的比较与抽象思考。数学模型（一般性）与其在生活中的原型（典型性）之间存在着不断地感性互动和理性建构。

4. 符号的使用力求规范有效。

改变“=”的书写顺序，有利于学生养成先思考清楚，再准确表达的习惯，这样也有利于培养正确使用“=”的自信。先弄清依据，确认相等，再写“=”；或先弄清数、数量、数量关系在生活或现实情境中是否符合情理，再写“=”等。这些都是培养良好使用等号习惯较为有效的方法。

同时，要给学生减负，在大量的计算练习中，“疲劳”使用下学生无暇求真。随着运算或解决问题情境的抽象化，学生并没有因此获得更多的计算技能和方法，而对每一步计算结果是否准确越来越“自信”。等号“连接”的随意性和形式性符号，仅被作为反映学生被动式学习结果。这在高年级的学生中，相当普遍。可见，等号教育也要精练多思，突出等号本质。

5. 符号的灵魂系于学生主体。

传统的应试教育过于重视结果及对结果（含每一步过程）熟练应用的评价，而对其在计算中的努力与思考、情感与习惯等关注不足。教育者过于关注的是作业的“错与对”，关注的是学生所学的知识，而非学习知识的学生。于学生而言，只是尽可能对所学知识状况“如实”地反映和描述，忽略了学习的自我反思，即不相等不能用“=”连接，由此等号也逐渐只作为一种描述性符号使用。

当学习有困难的学生利用计算器、学优生答案等更可靠的资源或工具来对符号的准确使用进行反思时，教师应该给予积极的肯定，更重要的是要积极地引导其对每一次使用过程进行反思，找出知识、技能或习惯上的盲点。学生要在自评实践中获得自信。而教师批阅作业，更应关注对学生自评能力的合理肯定和积极鼓励，促进学生自信学习（包括学生对作业自评的能力和信心）习惯的形成。

（作者单位：福建省平潭县敖东镇中心小学）