求数列通项的几种常用方法及其共性

周文

摘要：数列既是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考中占有重要地位且分值较大。在数列中，求通项公式是学习数列的难点。由于可渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往方法多、灵活度大、技巧性强。本文提供了几种常用方法作参考。

关键词：高中数学；数列通项；方法及共性；教学建议

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）04-0119

数列在高中数学和大学数学中都有着重要的地位。在课程设置方面，人教版高中数学必修5将数列这部分内容作为一个独立的章节出现，而且在选修4系列中《数列与差分》也是一个单独的专题，因此在整个高中数学课程中，数列占有重要的地位；在实际应用方面，现实生活中的储蓄、人口增长、分期付款、物品的摆放等问题都与数列有着密切的联系；而且数列问题在高考数学中也备受命题专家的重视，同时也是一线数学教师和高校数学教育专家研究的重要内容；在大学数学中，数列也是数学分析、组合数学、离散数学等多门课程的重要组成部分。

一、观察法

即观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构（如分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征。），纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。需要指出的是在归纳数列的通项公式的时候使用的是不完全归纳法，因此在解答题中一般不用，常用于解选择题和填空题。

二、公式法

等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是分析后项与前项的差或比是否符合等差数列或等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它。用这种方法的时候关键在于紧扣等差、等比数列的定义。

4. 题型四：数列的求和问题

（1）公式法：确认数列是等差或等比数列，可以直接代入求和公式进行求和。

（2）倒序相加法：这是一种特殊的数列求和问题，用常规方法显然不能解答，考虑到性质，尝试用倒序相加法。主要适合满足性质ak+a1=am+an（k+1=m+n）的数列的求和问题。

（3）错位相减法：这种方法主要用于求数列{an·bn}的前项n和Sn，其中数列{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。

（4）裂项法：这是分解与组合在数列求和中的具体应用。该方法的实质是将数列中的某些项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

（5）分组求和法：有一类数列既不是等差数列也不是等比数列，但若将这类数列适当拆开，可以得到几个等差数列、等比数列或其他容易求和的数列，我们一般先分别求各个数列的和，然后把这些和相加就得到所要求的和。

（6）试值猜想法：通过对知S1，S2，S3，S4……的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出前n项和，然后用数学归纳法去证明。

六、数列教学建议

1. 根据教材特点应以启发学生积极思维为核心

培养学生观察问题、思考问题，并要教学生如何思维这对培养学生教学能力尤为重要。在提出的问题和定义的概念的引入方面要引起学生的注意并且让学生体会到数学来源于生活，数学例子和实际生活息息相关，并且例子是学生知道的并做到易懂，在讲等概念时，要先写出几个数列，启发学生让学生观察他们有什么特点，有什么共性，然后用归纳性的语言总结这类数的特性，给出相应的定义（称之为什么数列）。

2. 数列趣味性的认识

数列问题具有非常悠久的历史，数列其实在很早时候就有应用。早在公元前3000年，古巴比伦就研究了数列：1，2，22……29并给出了它的和29+29-1。我国《周髀算经》中的“七衡图”就有相关的问题，在例高斯发现等差数列的前n项和、兔子问题——斐波那契数列。这些都是我们值得一读一看的历史，这样更会让学生了解数列广泛的应用以及在历史上取得的灿烂的成就，激发学习的热情。

3. 注意渗透一些重要的数学思想方法

一般的数列求解需耍用到裂项求和、分类讨论等及其重要的数学思想，教材在这方面没有过多的深入，只是以函数的角度切入数列，对于其他的数学思想没有过度的体现。所以，在教学中处于关键地位，起关键作用的教师必须弥补这一缺憾，教师应在整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加鲜明，更好地解决某些问题。

4. 准确解读新课标对数列的教学要求

分析、研究新课标的对数列要求，把握课程标准中的教材的难重点，并在实际教学中认真贯彻课程标准中的规定，有的放矢地教学，使教学实效明显提高。

5. 正确认清数列问题在高考中的地位与作用

数列在高中数学中与前面几个章节知识相互瓜葛，相互交错，要彻底弄清数列问题，弄懂前面几章的内容是基础，把分类讨论、数形结合、函数思想等一些数学思想作为解题的主线，抓住数列这一章的重点章节，重点知识为解题的突破点。

总之，有关高考数学考查求数列通项公式的知识时很“灵活”、方法较多，因此需要学生具备灵活运用数学知识的能力，尤其要具备将其他数列能转化成比较熟悉的等差或等比数列的能力。这样才能“以不变应万变”，取得较好的成绩。

（作者单位：广西钦州市灵山中学 535000）