电场问题的简化策略

王宇阳

摘 要：通过对不同种电场的场强（E）和电势（φ）等概念的研究，结合中学物理电学知识，得到电场所含物理量的规律及相互关系，从而得到解决相关物理问题的简便方法。

关键词：电场问题；简化策略；规律

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2016）26-0242-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.26.157

一、一个点电荷形成的电场

众所周知，一个点电荷形成的是非匀强的电场，其电场强度（E）和电势（φ）大小的分布规律有其自身的特点，点电荷的电场线总体分布呈“球心放射状”。电场矢量的方向既为电场强度（E）的方向，又是电场强度减弱的方向，同时也是电势（φ）降低的方向。

由点电荷场强公式以及电势公式作出φ-R图像，见图1所示。

图1中，R为电场中某点到场源电荷Q的距离，则有，即图像在该点切线的斜率等于电场强度（E）。

过点电荷的横切面上，电场的电势用等势面表示见图2，同一条虚线上电势相同。若场源电荷为正，则φA>φB>φC；若场源电荷为负，则φA<φB<φC。

以正场源电荷为例，以一条电场线为一条轴R（表示与场源电荷的距离），以过场源电荷且垂直于电场所在平面的直线为另一条轴φ（表示电势高低），再引入一个新变量θ（表示在电场所在平面内，沿R轴逆时针转过的角度），作出φ-（R，θ）图像，相当于将图1中曲线绕O-φ轴旋转一周，如图3。其中：A点表示所得曲面上任意点，其坐标为 ， 表示A点在过场源电荷的横切面上的位置，φ0则表示该位置电势，A点在其与φ轴共同确定的面上的斜率大小表示该位置的电场强度（E0）的大小，由此，可以求出与电势能等相关的图像。

图3电荷的电势-空间位置分布

显然，图3很直观地体现场源电荷所在平面内的电势等物理量的分布特点。利用此图，将电势的概念形象为重力场中的海拔高度，结合生活经验，就能解决抽象的电场问题。下面用案例一作进一步剖析。

案例一：

如图4示，在点电荷Q产生的电场中，已知a，b两点在同一等势面上，c，d在同一等势面上，无穷远处电势为零。甲、乙两带电粒子经过a点时动能相同，甲粒子运动轨迹为acb，乙粒子运动轨迹为adb。由此可判断（ ）。

A.甲粒子经过c点与乙，粒子经过d点时动能相等

B.甲乙粒子带同种电荷

C.甲粒子经过c点时的电势能小于乙粒子经过d点时的电势能

D.两粒子经过b点时拥有相同动能

解析例一：

（1）甲粒子轨迹为acb，即在c点时受电场力方向由c指向场源电荷Q，故甲粒子与场源电荷带异种电荷（参照图5模型，甲粒子在该电场中的电势能与位置的关系如图5。

a到c过程中，电场力对甲粒子做正功，甲粒子动能增大、电势能减小；

c到b过程中，电场力对甲粒子做负功，甲粒子动能减小、电势能增大。

（2）乙粒子轨迹为adb，即在d点时受电场力方向由Q指向场源电荷c，故乙粒子与场源电荷带同种电荷。

a到d过程中，电场力对乙粒子做负功，乙粒子动能减小、电势能增大；

d到b过程中，电场力对乙粒子做正功，乙粒子动能增大、电势能减小。

选项分析：

甲粒子从a到c动能增大，乙粒子从a到d动能减小，又由两粒子初始动能相等，得甲粒子经过c点时的动能大于乙粒子经过d点时的电势能；A选项错误。

甲粒子与场源电荷带异种电荷，乙粒子与场源电荷带同种电荷；B选项错误。

甲粒子与场源电荷带异种电荷，故电势能恒为负，乙粒子与场源电荷带同种电荷，故电势能恒为正；C选项错误。

a、b两点位于同一等势面上，即甲乙两粒子在从a到b全过程中的初末电势能不变，由动能定理，他们在从a到b全过程中的动能也不变；D选项正确。

答案：D

二、两个（或多个）点电荷形成的电场

分析两个（或多个）点电荷形成的电场时，可利用电场叠加原理，得到两个（或多个）电荷形成的电场，求得有关电场强度（E）、电势（φ） 等分布的规律，进而解决相应问题。现在再分析以下例题。

案例二：

如图6，电荷量分别为q1和q2的点电荷放在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图所示，其中A、N两点的电势为零，ND段中C点电势最高，则下列说法正确的是（ ）。

A：C点的电场强度大小为零；B：A点的电场强度大小为零；C：NC间场强方向向x轴正方向； D、将一负点电荷从N点移到D点，电场力先做正功后做负功。

解析：（以q1、q2分别表示两点电荷）

（1）由图，q1处电势为正无穷，故q1带正电；q2处电势为负无穷，故q1带负电。

（2）因为q2右侧仍有电势大于零处，故q1带电荷量大于 q2。

选项分析：图6中φ-x图像在C点处切线斜率为零，在A点处切线斜率不为零，由图1及其结论得，C处电场强度为零，A处电场强度不为零。故A选项正确，B选项错误。φ-x图像中，N点电势高于C，可判断电场强度方向为由C到N，C选项错误。

根据，负点电荷电势能变化情况如图7示。

N到C过程中，负点电荷电势能减小，电场力对该电荷做正功；C到D过程中，负点电荷电势能增大，电场力对负点电荷做负功。D选项正确。

答案：AD

三、平行板电容器形成的电场

平行板电容器的两个极板分别带等量异种电荷且点和分布均匀，正负极板之间产生匀强电场（忽略边缘效应）。电容器的电容C的决定式及定义式（ε为介电常数，k为静电常数）；主要变量中，S为极板相对有效面积，d为极板间距离，U为两极板间电势差，Q为极板所带电荷量。其电路图以及产生电场的特点如图8示。

由物理课本相关内容：该电场中电场强度（E）方向处处相同、大小处处相等且都为。

如图8其中O点为两极板表示的点相连线段的中点，x表示电场中的位置，φ表示该位置的电势。图像斜率为，（E为电场强度）即斜率为该点处的电场强度E，且斜率与Q成正比 。可见图像斜率既可以直接表示电场强度E，又可以间接表示两极板所带的电量Q。现进行以下讨论：

（一）两极板所带电荷量Q不变

保持两极板带电量Q不变，改变两极板间距离d或有效正对面积S，会对电场产生以下的影响，如图9示。

①增大极板间的距离d，由公式，得两极板间电势差U增大；φ-x图像中：电势最大值增大，最小值减小，由于Q不变，图像斜率不变，即tanα=tanβ=不变；

②减小极板间有效正对面积S等效于1中增大极板间距离d；

③减小极板间的距离d，由公式，得两极板间电势差U减小，φ-x图像中，电势最大值减小，最小值增大，电量Q不变，图像斜率不变，即tanα=tanβ=不变；

④由于，增大两极板有效正对面积S时，等效于3中减小极板间距离d。

（二）两极板间电势差U不变

保持两极板间电势差U不变，改变两极板间距离d或有效正对面积S，会对电场产生以下的影响，如图10所示。

①增大极板间的距离d，由公式，得两极板所带电荷量Q减小，φ-x图像中：图像斜率减小，即 =tanβ

②减小极板间有效正对面积S等效于1中增大极板间距离；

③减小极板间的距离d，由公式，得两极板间所带电荷量Q增大，φ-x图像中，图像斜率增大，即= tanα>tanβ=；由于U不变，电势最大值和最小值不变；

④由于，增大两极板有效正对面积S时，等效于3中减小极板间距离d。

案例三：

如图11，在平行板电容器正中有一个带电微粒。K闭合时，该微粒恰好能保持静止。在保持K闭合、充电后将K断开的前提下，用什么方法可以使它打到上极板（ ）

A.上移上极板M B.上移下极板N

C.左移上极板M D.把下极板N接地

解析：

（1）由题得粒子受电场力和重力，且正处于平衡状态，即电场力和重力等大反向（重力竖直向下，电场力竖直向上）。

（2）要使粒子打在上极板，需要增大电场力，使其上移。题中前提表明两极板间电势差保持不变，符合上述讨论中（2）。 选项分析：

由图11中的分析及结论：上移上极板M（相当于过程①）会使电场力减小；上移下极板N（相当于过程③）

会使电场力增大：左移上极板M（相当于过程②）会使电场力减小；故A、C错误，B选项正确。

把下极板N接地会使N板电势由正值变为零，而M板电势不变；故两极板间电势差减小电场力减小；D选项错误

答案：B

总之，解决抽象的电场问题利用图像法代替繁杂的公式的简化策略，更加直观、不易出错，简单可靠。