一道大学生数学竞赛题的推广

张士诚（江苏师范大学数学与统计学院，江苏徐州221116）



一道大学生数学竞赛题的推广

张士诚
（江苏师范大学数学与统计学院，江苏徐州221116）

［摘 要］针对2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛（非数学类）第五题，本文利用介值性定理或者积分中值定理，将结论推广到一般情形，并给出证明．

［关键词］积分中值定理；数学竞赛；介值性定理

1　引 言

全国大学生数学竞赛2009年开始举办，作为面向本科生的一项全国性高水平数学竞赛，给全国大学生提供了一个展示数学基本功和数学思维的舞台，也极大的激发了学生学习高等数学的积极性和主动性，对高等数学的教学起到了一定的促进作用．同时也促进高等学校数学课程建设的改革和发展积累了调研素材．本文从第七届全国大学生数学竞赛预赛（非数学类）中的一道证明题入手，主要运用高等数学中的介值定理、中值定理等知识将该证明题的结论做一般化推广．

2　预备知识

定理2．1［1］（介值性定理） 设函数f在闭区间［a，b］上连续，且f（a）≠f（b）．若μ为介于f（a）与f（b）之间的任何实数（f（a）＜μ＜f（b））或（f（a）＞μ＞f（b）），则至少存在一点x0∈（a，b），使得f（x0）＝μ．

定理2．2［1］（积分中值定理） 若f与g都在［a，b］上连续，且g（x）在［a，b］上不变号，则至少存在一点x0∈［a，b］，使得

命题2．3（全国大学生数学竞赛预赛非数学类第五题） 设函数f在［0，1］上连续，且

试证

（i）存在x0∈［0，1］使｜f（x0）｜＞4；

（ii）存在x1∈［0，1］使｜f（x1）｜＝4．

证 （i）若x∈［0，1］，｜f（x）｜≤4，则

因此

而

所以对于任意x∈［0，1］，｜f（x）｜＝4，由连续性知f（x）＝4或者f（x）＝－4．这样与条件

（ii）先证存在x2∈［0，1］使｜f（x2）｜＜4．若不然，对任何x∈［0，1］，｜f（x）｜≥4成立．则f（x）≥4恒成立，或者f（x）≤－4恒成立，与矛盾．再由f（x）的连续性及（1）的结果，利用介值性定理存在x1∈［0，1］使｜f（x1）｜＝4．

3　结论的推广

定理3．1 设函数f在［0，1］上连续，且

试证

（i）存在x0∈［0，1］使｜f（x0）｜＞2n（n＋1）；

（ii）存在x1∈［0，1］使｜f（x1）｜＝2n（n＋1）．

证 （i）若x∈［0，1］，｜f（x）｜≤2n（n＋1），则

因此

而

故

所以对于任意x∈［0，1］，｜f（x）｜＝2n（n＋1），由连续性知f（x）＝2n（n＋1）或者f（x）＝－2n（n＋1）．这样与条件

矛盾．故存在x0∈［0，1］使

（ii）先证x2∈［0，1］使｜f（x2）｜＜2n（n＋1）．若不然，对任何x∈［0，1］，2n（n＋1）成立．则f（x）≥2n（n＋1）恒成立，或者f（x）≤－2n（n＋1）恒成立，与

矛盾．再由f（x）的连续性及（1）的结果，利用介值性定理存在x1∈［0，1］使｜f（x1）｜＝2n（n＋1）．注 当n＝2时，定理3．1即为命题2．3．

下面也可以将结论推广到一般的区间上．

命题3．2 设函数f在［a，b］上连续，且

试证

（i）存在x0∈［a，b］使

（ii）存在x1∈［a，b］使

定理3．3 设函数f在［a，b］上连续，且

试证

（i）存在x0∈［a，b］使

（ii）存在x1∈［a，b］使

因此

而

故

所以对于任意x∈［a，b］，

由连续性知

这样与条件

矛盾．故存在x0∈［a，b］使

（ii）先证x2∈［a，b］使

若不然，对任何x∈［a，b］，

成立．则

恒成立，或者

恒成立，与

矛盾．再由f（x）的连续性及（1）的结果，利用介值性定理存在x1∈［a，b］使

注 当n＝2时，定理3．3即为命题3．2．

以上结论都是应用连续性与介值性定理证明，下面将结论中的两个小结论归结在一起，使用积分中值定理可以更简洁的证明．

定理3．4 设函数f在［0，1］上连续，且

试证：存在x0∈［0，1］使｜f（x0）｜≥2n（n＋1）．

定理3．5 设函数f在［a，b］上连续，且

试证：存在x0∈［a，b］使

因此

注 当a＝0，b＝1时，定理3．5即为定理3．4．

4　结论与认识

我们从一道全国大学生数学竞赛试题入手，通过改变题目中的条件，将其结论进行了一般化的推广．希望本文对学习高等数学的大学生有一定的帮助与启发．

［参 考 文 献］

［1］ 华东师范大学数学系数学分析［M］．北京：高等教育出版社，2010．

［2］ 王华生，栾姝．一道全国大学生数学竞赛证明的推广［J］．湛江师范学院学报，2014，35（6）：61－67．

Extension of a Proof Problem in the Chinese Mathematics Contest for College Students

ZHANG Shi－cheng
（School of Mathematics and Statistics，Jiangsu Normal University，Xuzhou，Jiangsu 221116，China）

Abstract：This paper consider the the fifth question which appeared in the 7(th)Chinese College Mathematical Competition（Non Mathematics Major）in 2015．By applying intermediate value theorem or integral mean value theorem in mathematical analysis，the conclusion in the problem is more generalized．

Key words：integral mean value theorem；mathematics；intermediate value theorem

［基金项目］国家自然科学基金（61271002）；江苏师范大学高等数学教改项目

［收稿日期］2015－11－30

［中图分类号］O172

［文献标识码］C

［文章编号］1672－1454（2016）01－0118－05