基于通胀和劳动收入的最优消费投资问题研究

姜 奎，费为银，杜宏俊（安徽工程大学数理学院，安徽芜湖 241000）



基于通胀和劳动收入的最优消费投资问题研究

姜 奎，费为银＊，杜宏俊
（安徽工程大学数理学院，安徽芜湖 241000）

摘要：在消费篮子价格完全可观察下，考虑通胀与劳动收入对投资者最优消费投资的影响．首先，将投资者的生命周期分为就业阶段和退休阶段，分别建立两个阶段对应的随机控制数学模型；其次，利用随机控制方法推导出相应的HJB方程，并在CRRA（常相对风险厌恶）效用的情形下，获得最优化问题值函数显式解；最后，在给定参数的条件下进行数值模拟，分析了通胀因素对投资者的消费投资策略的影响．

关 键 词：通胀；劳动收入；最优消费投资；CRRA效用；HJB方程

最优消费投资问题一直以来都是金融研究领域中一个最基本的问题．Merton［1］利用动态规划方法研究了在连续时间里一个多期框架下的最优消费和投资决策问题．Wachter［2］给出了完备市场下带有均值回复收益的消费和投资组合决策的一个精确解．李仲飞［3］等研究了参数不确定时的最优投资选择问题．

随着消费投资理论的不断发展，国内外学者的研究越来越注重结合实际问题，例如考虑劳动收入对投资者消费投资决策的影响．Dybvig［4］等考虑了退休弹性以及能否对未来劳动收入进行借贷下的最优消费和投资策略问题．Moos［5］在完备的金融市场中研究了在时变的投资机会和动态的非金融（劳动）收入下的最优消费和投资问题，其中，劳动收入增长和预期收益服从一个均值回复过程．费为银［6］等探讨了在股票支付红利的情况下，考虑投资者遗产并结合保险，研究了3种不同借贷约束下的消费投资问题，其中，借贷约束条件与劳动收入有关．刘宏建［7］等研究了在Knight不确定环境下，考虑投资者遗产和保险，在3种与未来劳动收入有关的借贷约束下的最优消费与投资问题．

通过对已有的经济数据分析，得出在现实经济环境中通货膨胀对消费投资决策存在一定程度的影响．Bensoussan［8］等在消费篮子价格完全可观察和部分可观察的情况下，分别给出了带通胀的最优消费和投资策略．Fei［9］等研究了在带有马尔科夫转换和通胀的金融市场中的最优消费和投资组合问题．姚海祥［10］等在所考虑的金融市场中仅存风险资产的情况下，基于连续时间均值－方差框架，研究了通货膨胀影响下投资终止时间不确定的最优投资组合选择问题．费为银［11］等研究了跳扩散环境下带通胀的最优动态资产配置问题．在Moos［5］研究的基础上考虑通胀因素，在一定程度上使得原有模型更接近现实．

1 模型框架

假设在金融市场中，投资者可以财富投资到无风险资产（银行存款）和风险资产（股票），则在t时刻无风险资产价格满足

式中，r0表示确定性的名义无风险利率．

t时刻风险资产价格过程满足

式中，λ1是风险资产的预期收益率且λ1＞0；σs是风险资产的波动率且σs＞0．在这个框架下，风险的市场价格为

状态变量X（t）的动力学方程由式（3）给定

式中，κx是状态变量的均值回复系数且κx≥0；X是状态变量的长期均值且X≥0；σx是状态变量的波动率且σx＞0．

消费篮子价格B（t）的动力学可表示为

式中，B0表示初始条件；实数I表示预期即期通胀率；ζ是通胀波动率且ζ＞0；I与ζ是常数．因为消费篮子价格通常是上升的，所以I＞0；并且当消费篮子完全可观察时，B0是已知的．令L（t）＝lnB（t）表示对数篮子价格，利用公式可得

假设投资者的生命周期分为就业阶段和退休阶段，式中，Tr表示投资者的退休时刻；T表示投资者寿命终止时刻．在0≤t≤Tr这段时间内，投资者在劳动市场比较活跃，拥有一份有风险的劳动收入，并进行消费和投资．在退休阶段，即在Tr＜t≤T这段时间内投资者没有劳动收入，并且其累积的金融财富必须能保证基本消费．在［0，Tr］这段时间里投资者在劳动市场上获得一份有风险的劳动收入Y（t），其在t时刻劳动收入过程满足

式中，y0是劳动收入增长的常数部分；y1是劳动收入增长在状态变量上的敏感度且是劳动收入的长期增长均值；σy是风险劳动收入的波动率且σy≥0．

2 CRRA（常相对风险厌恶）效用情形下的显式解

在消费篮子价格完全可观察的情形下，投资者观察过程L（t）以及信息集Ft．消费篮子是用来折现消费和财富的．因此，以e－LC表示实际消费，e－LW表示实际财富．这里我们考虑消费效用

假设投资者在t时刻剩余寿命的预期消费效用期望为

式中，e－L（t）C（t）表示投资者在t时刻的真实消费；δ≥0是主观折现率；γ是风险厌恶系数．

在第一节的模型框架下，将投资者的生命周期分为退休阶段和就业阶段，由于投资者在就业阶段仅仅是比退休阶段多拥有一份劳动收入，因此，分析的重点放在就业阶段．

2．1 就业阶段

在就业阶段，即在时间段0≤t≤Tr里，投资者拥有随机的劳动收入，此时由式（1）、式（2）和式（6）得到投资者在就业阶段的财富动力学

式中，C（t）表示投资者t时刻的名义消费；π（t）表示投资者投资到风险资产的财富比例．

此时的目标是解如下的最大化问题

在消费篮子价格可完全观察情形下，根据动态规划原理有值函数J的HJB方程

根据一阶条件可得

把式（9）和式（10）代入到式（8）并化简可得

为了获得封闭解，我们需要作一些假设条件：

（c．1）假设风险资产和状态变量是完全相关的，即ρsx∈｛－1，1｝．

（c．2）假设风险资产和风险劳动收入之间是完全相关的或劳动收入是局部无风险的，即ρsx∈｛－1，1｝⇒ρsy＝ρsxρsy∈｛－1，1｝或σy＝0．

（c．3）假设通胀分别和风险资产与风险劳动收入是完全相关的，即ρsI∈｛－1，1｝⇒ρsI＝ρsxρsI∈｛－1，1｝，ρyI＝ρsyρsI∈｛－1，1｝．

在上面的假设下，当初值条件为a0（0）＝0，a1（0）＝0及a2（0）＝0时，a0（s），a1（s），a2（s）可以通过下列3个非线性常微分方程求解

式中

其中，

式（13）～式（15）的解为

其中，

则式（20）～式（21）的解为

以上我们分析了投资者在就业阶段的最优消费和投资问题，根据上述模型和推导过程，得到下面的命题．

命题1 给定初始总财富＾W（0）≥0，在假设（c．1）～（c．3）下，则带有随机劳动收入投资者的最优消

费和投资分别为

2．2 退休阶段

在退休阶段，即在时间段Tr≤t≤T内，投资者没有劳动收入，此时由式（1）和式（2）可得投资者的财富动力学

此时的值函数形式为

命题2 对于Tr≤t≤T，在假设（c．1）和ρsI∈｛－1，1｝⇒ρxI＝ρsxρsI∈｛－1，1｝下，没有劳动收入的投资者在退休阶段的最优消费和投资分别为分别满足式（17）、式（18）和式（19），k0，k1，k2，k3，k4，k5，k6由式（16）给出，而且

这里

3 数值分析

为了说明通胀因素对投资者的最优投资组合选择和消费的影响，分析的重点是投资者就业阶段．此时考虑局部无风险劳动收入情形，即σy＝0．现给定如下相关参数值

利用Matlab软件模拟可以得到下面结论．最优投资π*（t）随通胀波动率ζ的变化如图1所示，由图1可知，假设投资者年龄为25岁（τr＝20），此时的金融财富为180（千），劳动收入为40（千）．投资到风险资产的最优比例随着通胀波动率的增大而逐渐增大，因为对于较低风险厌恶的投资者来说，通胀波动率增大时，他会认为市场的预期走势较好，会把自己的财富（包含劳动收入）更多地投资到风险资产上以获得更多的收益．由图1同时可知，当劳动收入增长分别为y1＝0．4，y1＝0，y1＝－0．4时，投资比例不同，劳动收入越多投资到风险资产的比例越大．

最优消费c＊（t）随通胀波动率ζ的变化如图2所示．由图2可知，描述了通胀波动率对投资者的最优消费的影响，其中，也假设投资者年龄为25岁（τr＝20），此时的金融财富为180（千），劳动收入为40（千）．在通胀波动率刚开始增大时，消费呈现增长趋势，因为此时投资者可能通过无风险借贷进行投资使得手中持有货币增多，刺激了消费增长，由此可见，适度的通胀会刺激消费．此后，随着通胀波动率的不断增大，较低风险厌恶的投资者把更多的财富（包含劳动收入）投资到风险资产，从而使得消费水平降低．图2同时也体现出，当劳动收入增长分别为y1＝0．4，y1＝0，y1＝－0．4时，投资者的消费水平不同，劳动收入越多消费水平相对越高．

图1　最优投资π*（t）随通胀波动率ζ的变化　

图2　最优消费c＊（t）随通胀波动率ζ的变化

4 总结

现实中，投资者会在不同时期面临市场上不同的通胀波动率，为了减少损失风险，投资者会根据不同的通胀波动率来调整自己的消费投资策略，从而获得更大的收益．在通胀情形下研究了投资者带有随机劳动收入时的最优消费和投资问题，在现有模型的基础上考虑通胀因素，得出了投资者在消费篮子价格完全可观察时的最优消费投资策略，并通过数值模拟讨论了通胀对带有劳动收入投资者的最优消费和投资的影响．所得模型更加符合实际市场，研究结果可以为投资者的消费投资策略选择提供新的视角，具有一定理论价值和现实经济意义．

参考文献：

［1］ R C Merton．Lifetime portfolio selection under uncertainty：the continuous time case［J］．The Review of Economic and Statistics，1969，51（3）：247－257．

［2］ J A Wachter．Portfolio and consumption decisions under mean－reverting returns：an exact solution for complete markets ［J］．Journal of Financial and Quantitative Analysis，2002，37（1）：63－91．

［3］ 李仲飞，袁子甲．参数不确定性下资产配置的动态－均值方差模型［J］．管理科学学报，2010，13（12）：1－9．

［4］ P H Dybvig，H Liu．Lifetime consumption and investment：retirement and constrained borrowing［J］．Journal of Economic Theory，2010，145（3）：885－907．

［5］ D Moos．Portfolio and consumption decisions under mean－reverting returns and mean－reverting labor income growth ［EB／OL］．https：／／www．alexandria．unisg．ch／Publikationen／72495／L－en，2011－05－16．

［6］ 费为银，何丹丹，朱永王，等．考虑红利和退休的最优消费——投资和遗产问题［J］．东华大学学报，2013，39（1）：124－129．

［7］ 刘宏建，费为银，朱永王，等．Knight不确定下考虑保险和退休的最优消费－投资和遗产问题研究［J］．运筹学学报，2014，18（3）：88－98．

［8］ A Bensoussan，J Keppo，S P Sethi．Optimal consumption and portfolio decisions with partially observed real prices［J］．Mathematical Finance，2009，19（2）：215－236．

［9］ C Fei，W Y Fei．Optimal control of markovian switching systems with application to portfolio decisions under inflation ［J］．Acta Mathematica Scientia，2015，35B（2）：439－458．

［10］姚海祥，伍慧玲，曾燕．不确定终止时间和通货膨胀影响下风险资产的最优投资策略［J］．系统工程理论与实践，2014，34（5）：1 089－1 098．

［11］费为银，蔡振球，夏登峰．跳扩散环境下带通胀的最优动态资产配置［J］．管理科学学报，2015，18（8）：83－94．

Study on optimal consumption－portfolio problem based on labor income and inflation

JIANG Kui，FEI Wei－yin＊，DU Hong－jun
（College of Mathematics and Physics，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China）

Abstract：This paper considers the impact of inflation and labor income on optimal consumption and portfolio of an investor in the case of fully observed consumption basket price．Firstly，the life cycle of the investor is divided into two phases of retirement and employment，and then the corresponding stochastic control mathematical models are set up．Secondly，by using the method of stochastic control，the HJB equation is derived，an explicit expression of the valued function of the optimization problem is obtained in the case of constant relative risk aversion（CRRA）utility．Finally，the effect of inflation on an investor ＇s optimal consumption and portfolio strategy is analyzed by numerical simulation with given parameters．

Key words：inflation；labor income；optimal consumption－portfolio；CRRA utility；HJB equation

通讯作者：费为银（1963－），男，安徽芜湖人，教授，博士生导师．

作者简介：姜 奎（1990－），男，安徽宿州人，硕士研究生．

基金项目：国家自然科学基金资助项目（71171003，71571001）

收稿日期：2015－10－15

文章编号：1672－2477（2016）01－0065－07

中图分类号：O211．63；F224．11

文献标识码：A