抓住数学本质 渗透数学思想——《解决问题的策略（画线段图）》教学

周道鑫（特级教师）

【教学内容】

苏教版四年级下册第48～49页。

【教学目标】

1.使学生初步认识画图的策略，能画线段表示实际问题的条件和问题，学会利用直观图分析数量关系，说明解决问题的思路，并正确列式解答。

2.使学生经历画线段图表示题意、分析数量关系的过程，体会画图的作用，培养利用几何直观、判断、推理等思维能力，提高分析数量关系、解决问题的能力。

3.使学生主动探索问题解决，获得成功的感受；进一步感受一些数学实际问题的特点，体会数学方法的作用，产生对数学方法的兴趣，提高学习数学的积极性。

【教学重点、难点】

掌握画线段图解决问题的策略；分析线段图找到解决问题的策略，理解三种不同方法的本质。

【教学过程】

一、引入课题

师：看到大屏幕，你知道我们今天主要学习什么内容？

生：解决问题的策略。

师：你知道什么是策略？

生：策略就是方法，解决问题的思路。

师：策略对解决问题有什么帮助？

生：能帮助我们理解题意，容易理清思路。

生：能更好地分析题目中的数量关系。

生：比文字更简洁、直观、好看。

师：那我们已经学会哪些解决问题的策略？

生：四年级上学期学习了列表整理条件。

生：三年级时研究和倍、差倍的问题时学习画线段图的策略。

师：今天，我们将继续使用这些策略来解决新的问题。（板书课题）

【设计意图：学习本课之前，学生已经学习了列表和画图两种解决问题的常用策略，其主要作用在于促进正确理解题意，帮助分析数量之间的联系，形成解题思路。引入课题谈话部分就是唤起学生对旧知的回忆，初步感受策略对解决问题的应用价值，放大学生学习解决问题策略的心理效应，产生一种要学会其技能并逐渐内化成自己解决问题的策略的心理需求，为新课学习做好知识准备和积极的心理暗示。】

二、自主探究

1.出示准备题。

小宁和小春共有72枚邮票。两人各有邮票多少枚？

师：你获得什么信息？你认为两人各有邮票多少枚？

生：两人各有36枚邮票。

师：你是怎么想的？

师：他是假设小宁和小春两人的邮票枚数相等，直接用72÷2，求出两人各有邮票36枚。每人一定是36枚吗？还有没有其它的可能？可能是70枚和2枚吗？

生：可能。也可能小宁30枚，小春42枚。

生：还可能小春30枚，小宁42枚。

师：也就是说这里有好多种可能，你有什么想法？

生：这题的条件不全面，还应该再补充一个条件。

师：说的好，仅靠“共有72枚邮票”这一个条件，我们不能得到确定的答案。

【设计意图：利用解决问题的策略来培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。很多时候教学效果不佳其主要原因是发现问题和分析问题两个方面。所研究的问题大多是条件封闭，答案唯一，解决这类问题就在限定的几个条件中找不同的数量关系，难以培养学生的创新能力，也难以顾全学生四种能力的培养。通过准备题，让学生直接掉入惯性思维和直觉思维的陷阱：72枚邮票两人平均分，各36枚数量相等，这是一种常规思维。“每人一定是36枚吗？”引导学生质疑，通过理性思考，让学生在思辨中分析问题和发现问题。】

2.教学例1。

小宁和小春共有72枚邮票，小春比小宁多12枚。两人各有邮票多少枚？

（1）了解题意。

师：增加一个条件，请你读读，你获得了哪些信息？（根据学生回答，条件和问题）

师：72枚、12枚分别表示什么意思？问题呢？

师：看来这题是已知两个量的和与差，来分别求这两个量。

师：这个问题与刚才的假设相比，你认为如何？

生：条件多了，原来两个数量相等，现在两个数量不相等。

生：数量关系也变得复杂了。

师：条件增加了，数量关系也变复杂了，你打算用什么策略来解决这一题？（画图）都同意画图，那就在你的练习本上试着画出它的线段图。

（通过与准备题比较，找到题中的条件和问题，从而发现此类问题的基本特征：已知两个量的和与差，分别求两个量，也就是和差问题。通过与准备题的假设比较，发现两个量不相等，不是简单的平均分）

（2）学会画图。

师：我们来欣赏一下老师随机选取的几位同学所画的图，你对这些图有什么评价？

根据学生的回答强调：两个量要用两条线段表示，和谁比，就应该先画谁，要画出所有的条件和问题。

师：老师也画了一个，画的方法与你的比较一下。如有不完整或错误的地方请修改一下，好吗？

师：从图上看，你能明白问题的意思吗？（学生说）

师：看来题目中的文字已属画蛇添足了，老师把它去掉，你还能说说这题的意思吗？图和文字相比，有什么优势？（能直观、清楚地看出条件和问题）

【设计意图：形成解决问题的策略需要一个较长的过程，掌握解决问题的某种具体方法是这个过程的主线。这就是说，形成画图策略，应该让学生了解画图、学会画图、体验画图、自觉运用画图。通过试画、展评、范画、修改等环节让学生学会最基本的画图方法，通过图文比较，隐去文字，根据线段图复述题意，让学生切身体验到画线段图的简洁、直观，体会画图对解题的积极作用。】

（3）读图分析。

师：只看线段图就能完全理解题意，可怎么解决这个问题，从图上能找到方法吗？和你的同桌商量商量（学生讨论）。

学生汇报：

方法一：小春减少12枚，就和小宁相等了，总数也要减少12枚，变成60枚，正好就是小宁的2倍，可以先求出小宁是30枚，再求出小春的枚数。

师：你是从哪里看出来的？还有谁听懂了他的思路？（根据学生回答，配合动画展示）

方法二：小宁增加12枚，就和小春相等了，总数也要增加12枚，变成84枚，正好是小春的2倍，可以先求出小春是42枚，再求出小宁的枚数。

师：你是从哪里看出来的？还有谁听懂了他的思路？（根据学生回答，配合动画展示）

方法三：把小春比小宁多的12枚平均分成两份，每份6枚。将其中的一份枚送给小宁，两人的邮票枚数也变得相等，总数还是72枚平均分，分别是36枚。小宁借来的6枚去掉，小春借出的6枚再要回来，就能求出两人各有邮票多少枚。

师：这种方法与众不同，邮票总数不变，把小春多12枚的一半借给小宁，两人枚数也实现了相等，很有创意，让我们把掌声送给他（配合动画演示）。

师：经过刚才的讨论，我们发现了三种不同的解决办法。第一种是总数减少12枚，第二种是总数增加12枚，第三种是将12枚平均分。虽然方法不同，但解题思路有没有相同的地方？

生：都是把两个数量不相等变得相等。

师：对，从图上看得非常清楚，两条线段不等，在不等变得相等的过程中，我们也顺利找到了解决问题的办法。

【设计意图：解决问题常强调“多样化”和“最优化”。通过交流不同人的思考，相互理解各人的解题计划，体现解决问题方法多样化，从而实现让不同的人在数学上得到不同的发展。通过不同方法的比较，选出最简便、最普遍、最好理解的一种方法，这就是最优化。在强调多样化和最优化的同时，还应突出“归纳化”。即通过不同方法的类比、融合，归纳、总结出所有方法的本质。恰如例题中三种解法的研究：结合线段图比较，都是把两条不等的线段，通过增、减、分不同的方式，实现两条线段的相等。把两个数量不相等变得相等，就是解决和差问题的精髓。教师教学必须要抓住数学的本质，通过“本质”这条主线来串起不同的解法，渗透归纳类比的数学思想和“变中不变”的哲学思想。当然研究“和差问题”更不能简单的公式化：（和+差）÷2=大数、（和-差）÷2=小数，这纯属沦为一种简单的模仿。】

（4）解答检验。

师：三种不同的解题思路，你喜欢哪一种？请用算式把你的解法写下来，看谁最先算出它们的结果，并能结合图说说你每步算式表达什么意思。

交流：你选择哪一图来说说你的算式和想法。

师：同学们用了不同的解法，都得到了相同的结果，说明我们的答案是对的。除了这样可以检验外，我们还可以怎么检验？（把得数代入原题）

生：看他们的和是否等于72。

师：我们检验看看42+30=72，和等于 72，就能说明解题正确了吗？那开头的猜想70+2也等于72，可为什么70和2却是错误的？

生：我们还要检验他们的差是不是 12，42-30=12。

师：看来我们既要检验两个数量的和是不是72，又要检验它们的差是不是12，只有两个条件同时满足，才能确定答案是否正确。

【设计意图：检验方法多种多样，应该根据实际问题的特点选择检验方法，使检验既有效又较简便。和差问题的检验适宜“把得数代入原题”，通过与准备题的猜想相比较，让学生感受到得数必须满足题中所有的已知条件，结果才正确。从课堂结构看，也是前后呼应，再次感受到分析问题和发现问题的必要。】

（5）回顾反思。

师：回顾一下解决问题的全过程，我们主要应用了什么策略？你对线段图有什么体会？

生：画线段图能使数量关系更直观、更清楚。

生：看线段图分析数量关系，容易找到解题方法。

生：把得数代入原题检验，要符合所有已知条件。

师：看来大家已经深切地感受到画线段图这个策略给我们带来的好处，能帮助我们理解题意、分析数量关系，进而找到解决问题的思路和方法。你会用这种策略来解决一些实际问题吗？

（回顾解决问题的过程，体验画图方法，感受画图策略）

三、巩固应用

师：看图说题意，和例题相比有什么不一样？

师：根据线段图你能解决这个的问题吗？

（学生列式解答，交流解题思路，强调检验方法）

师：这题有选择第三种解法的吗？（没有）为什么？

生：因为“15 本”是单数，不好平均分。

师：看来，解题要根据实际情况，选择较为恰当的方法。

（这道题培养看线段图的能力。让学生看图说出图意，就把线段图表示的数学信息转换成语言表达的信息，这样就能在线段图的直观影响下，形成自己对题目的理解，以及解决问题的主张）

四、全课总结

今天我们学习了画线段图的策略，其实这种策略我们早都使用了，甚至在一年级的时候就已经学习了。想看看吗？只不过，它却是以这样的面貌展示给了我们（展示四年级的周期问题用圆形表示灯笼、一年级用实物图来表示）。随着年级的升高，我们现在使用了线段图，显得更直观、更简洁。在以后的学习中还会遇到利用各种各样的线段图、示意图来帮助我们分析问题、解决问题。