路基沉降与双块式无砟轨道轨面几何变形的映射关系

郭 宇， 高建敏， 孙 宇， 翟婉明

(西南交通大学 牵引动力国家重点实验室，四川 成都 610031)

无砟轨道因其高稳定性、低维修量、刚度均匀、结构美观等优点成为国内外高速铁路轨道的主要形式[1-2]。然而在土质路基上铺设无砟轨道时，由于路基的承载能力相对较低，对动荷载和水侵蚀反应敏感，在重力、列车、环境等复杂荷载的综合作用下，不可避免地会产生不均匀沉降。高速铁路对线路平顺性有着极其严格的要求，当路基发生不均匀沉降时，上部轨道结构的跟随性沉降导致轨道几何状态恶化，轨面平顺性降低，严重时还出现空吊，直接影响列车运行的安全性和舒适性，高速运营条件下会显著加剧无砟轨道结构的附加应力，进而影响其服役性能[3]。因受几何调整能力的限制，无砟轨道对沉降变形十分敏感，一旦超过扣件的调整范围，需要花费高昂的代价去处理。这使得路基不均匀沉降控制成为高速铁路路基上无砟轨道的关键技术[4]。

目前，国内外针对高速铁路路基不均匀沉降问题开展了大量研究，研究工作主要集中在沉降的发展机制、路基沉降对轨道结构力学特性、行车安全的影响以及路基沉降限值等方面。文献[5]基于模型试验研究了路基沉降在列车荷载下的发展机制；文献[6-8]采用有限元软件分析了不均匀沉降对无砟轨道受力和强度的影响，并给出相应的沉降控制值，但模型中并未考虑路基沉降可能引起的离缝和空吊现象；文献[9]则基于轨道板混凝土的抗弯疲劳强度提出了不均匀沉降控制准则；文献[4,10]基于车辆-轨道耦合动力学理论，分析沉降对系统动力响应的影响，提出对应于列车速度的不均匀沉降控制指标；文献[11]在既有的车辆-轨道垂向耦合动力学模型基础上重点考虑CA砂浆层和混凝土垫层的作用，分析了路基沉降与列车运行速度的关联性；文献[12]通过建立无砟轨道-路基系统模型分析路基不均匀沉降对耦合系统动力特性的影响；文献[13]针对地面沉降开展无砟轨道结构平顺性研究，分析了不同形式地面沉降引起的轨道结构变形；文献[14-15]对桥墩沉降和桥上不同无砟轨道系统钢轨变形间的映射关系进行了理论推导，并采用有限元模型进行验证。

现有的研究对于路基不均匀沉降反映到无砟轨道轨面所形成的几何不平顺特征尚未进行细致的分析和归纳。在高速铁路路基沉降控制领域和相关动力学计算中，通常简单地认为无砟轨道随路基发生完全一致的变形，将路基不均匀沉降按照1∶1的比例等效至轨面。这样的简化忽略了路基变形在向上传递至不同结构时可能产生的差异，特别是对于整体刚性较强的无砟轨道，往往高估或低估下部路基变形对整个轨道系统的影响，引起路基沉降限值评定和动力学计算的误差。考虑到双块式无砟轨道整体性最强且结构相对简单，本文结合国内高速铁路土质路基上铺设的双块式无砟轨道结构特点，采用弹性地基叠合梁理论和有限元方法建立轨道-路基力学模型，充分考虑层间连接特性及路基不均匀沉降的波长、波深变化，建立静平衡状态下双块式无砟轨道下部路基沉降与轨面几何变形之间的映射关系，为高速铁路路基沉降控制和系统动力学分析提供理论参考。

1 双块式无砟轨道-路基模型

1.1 连续弹性地基叠合梁模型

路基上双块式无砟轨道系统主要由钢轨、高弹性扣件、双块式轨枕、混凝土道床板以及水硬性混凝土支承层等组成[1]，其断面见图1。

在研究路基不均匀沉降对轨道结构受力变形的影响时，通常认为路基在横向范围内沉降均匀，仅考虑其沿线路纵向的作用。因此，可将钢轨视为简支梁，并与混凝土道床板通过一系列离散支承的线性弹簧相连，将道床板和支承层看作双层弹性叠合梁。考虑双块式无砟轨道混凝土结构层间连续的情况，可采用等效截面法将道床板和支承层简化为单一材料的整体梁[16]，此时等效截面的形心坐标为

( 1 )

式中:A1、A2分别为道床板和支承层的截面积；y1、y2分别为道床板和支承层截面的形心坐标；E1、E2分别为道床板和支承层的弹性模量;n为弹性模量比例系数，n=E1/E2。

取支承层的弹性模量为等效模量，则道床板和支承层叠合之后的等效抗弯刚度为

( 2 )

式中:a1、a2分别为道床板和支承层截面形心到等效截面形心的距离；h1、h2分别为道床板和支承层的厚度。

对于叠合梁下的路基，考虑其为连续的Winkler弹性地基，且路基顶面存在不均匀沉降变形。路基不均匀沉降成因复杂、形式多样，在研究路基不均匀沉降对列车走行性及无砟轨道结构受力影响时，日本通常采用半波正弦型曲线，而国内采用较多的是下凹全波余弦型曲线[1]，见图2。

本文在计算中也选用余弦型曲线来模拟路基不均匀沉降变形，其描述函数为

( 3 )

式中:u(x)为路基顶面不均匀沉降变形曲线;A表示不均匀沉降幅值;s表示沉降长度;x表示发生沉降的具体位置。

综上，考虑路基不均匀沉降的双块式无砟轨道纵向叠合梁模型见图3。

对于双块式无砟轨道系统中由道床板和支承层叠合而成的地基梁，根据Winkler地基上梁的基本挠曲微分方程，可得

( 4 )

式中:E*I*为叠合梁刚度；w为叠合梁的挠度；k为地基反力系数；Pi为第i个扣件节点处作用于道床板上的扣件力;δ为脉冲函数。

在求解路基上道床板和支承层叠合梁挠度时，由于钢轨的抗弯刚度远小于道床板和支承层的等效抗弯刚度，在计算时可先忽略扣件力的影响。结合图3，根据对称性仅考虑沉降中心右侧的变形，则式( 4 )可写为

( 5 )

式( 5 )中方程的齐次解为

w0(x)=eβx(C1cosβx+C2sinβx)+

e-βx(C3cosβx+C4sinβx)

( 6 )

(1) 当0≤x≤s/2时，由方程右边的形式可推知其解为

w1(x)=eβx(C1cosβx+C2sinβx)+

e-βx(C3cosβx+C4sinβx)+

B1cosαx+B2

( 7 )

式中：B1=kA/[2(k+16E*I*π4/s4)];B2=A/2;α=2π/s。

根据对称性，有

( 8 )

将式( 8 )代入式( 7 )可得，C1=C3，C2=-C4，于是方程的解可以改写为

w1(x)=2C1coshβxcosβx+2C2sinhβxsinβx+

B1cosαx+B2

( 9 )

(2) 当x>s/2时，w2(x)=w0(x)，考虑到无穷远处梁的挠度为0，有

w2(x)=e-βx(D1cosβx+D2sinβx)

(10)

式中：D1、D2为待定系数。

综合(1)、(2)可得，路基存在不均匀沉降时双块式无砟轨道道床板和支承层叠合梁的挠度曲线为

w(x)=

(11)

根据梁的变形连续性，有

(12)

结合式(12)即可确定式(11)中的系数C1、C2、D1、D2。

对于式(11)，在实际求解中C1、C2的值通常很小，因此在沉降区域内道床板和支承层的变形w1(x)主要受后2项控制，仍表现为余弦型，只有在沉降端点区域w1(x)中前2项的作用才逐渐明显。由w2(x)的形式可知，在非路基沉降区，道床板和支承层的变形将在波动中逐渐衰减的现象。

上述求解忽略了扣件力对道床板和支承层结构变形的影响，而在计算钢轨变形时，需要考虑扣件力的作用，因此，将扣件力引起的地基梁的位移叠加到上述计算结果中，则最终各个扣件节点处地基梁的变形为

wbi=wi+wpii=1～N

(13)

式中:wi为式(11)在第i个扣件节点处的值；wpi为由所有扣件力的合力引起的地基梁在第i个扣件处的挠度，计算式为

(14)

式中:Pj为第j个扣件处的扣件力；N为扣件总数；fij表示由作用于第j个扣件处的单位力引起的第i个扣件处地基梁的垂向变形，结合Winkler地基上受集中力荷载作用的无限长梁的挠曲变形公式，可得

(cosβ|xi-xj|+sinβ|xi-xj|)

(15)

式中:|xi-xj|表示所观察的扣件节点i、j之间的距离。

对于钢轨，由于其仅受离散扣件力的作用，对应于各扣件节点处的变形控制方程为

(16)

式中:wri表示钢轨在第i个扣件处的位移；dij为由作用于第j个扣件处的单位力引起的第i个扣件处钢轨的垂向变形，对于简支梁钢轨模型，则有

dij=

(17)

式中:Er、Ir分别为钢轨的弹性模量和截面惯量；ls为扣件间距;l为钢轨长度，l=(N+1)·ls；xi、xj分别为第i和第j个扣件距简支梁左端支座的距离，xi=i·ls；aj=xj；bj=l-xj。

对于连接钢轨和道床板的扣件系统，假设扣件刚度为kp，则各扣件弹簧的扣件力为

Pi=kp(wri-wbi)

(18)

联立式(13)、式(14)、式(16)和式(18)可得

(19)

将式(19)改写成矩阵的形式则很容易求得扣件力矩阵P，代回式(16)中即可得到由路基不均匀沉降引起的钢轨轨面变形。

值得注意的是，通过上述解析方法建立起的双块式无砟轨道轨面变形和路基沉降之间的映射关系是基于叠合梁与路基之间紧密连接、不出现离缝或空吊的假设。当路基不均匀沉降波长较短或幅值较大时，双块式无砟轨道支承层与路基表层之间可能出现局部脱空的现象，二者的接触状态将变得复杂，用上述方法求解也会更加困难。此时，可用有限元方法进行模拟。

1.2 轨道-路基空间有限元模型

由于双块式无砟轨道结构具有较高的整体性，受路基不均匀沉降的影响轨道结构和路基之间很可能出现离缝甚至空吊。这不仅降低轨道结构的服役寿命，列车经过时会引起周期性的动态不平顺，严重时甚至威胁行车安全。为充分考虑这一接触非线性因素，建立路基上双块式无砟轨道空间有限元模型，见图4。其中钢轨采用空间梁单元模拟，扣件系统采用弹簧-阻尼器模拟，道床板、支承层和路基结构均采用实体单元模拟。双块式无砟轨道材料参数见表1。扣件系统刚度为3×107N/m,阻尼为5×104。

表1 双块式无砟轨道材料参数

结构弹性模量/MPa泊松比说明钢轨2．10×1050．300T60轨道床板3．25×1040．167C40混凝土支承层2．55×1040．167C20混凝土路基表层1800．250密度2300kg/m3路基底层1100．300密度2100kg/m3

无砟轨道层间连接方式的设置尤为重要。由于双块式轨枕与混凝土道床板、道床板与支承层之间连接紧密，相对滑动很小，可以不考虑实体接触面的摩擦。采用软件特有的Tie连接方式，既可以保证相邻表面间的变形协调，又可以选择不约束2个面上对应节点的转动自由度，比共用节点更接近实际。而双块式无砟轨道支承层与路基表面之间的连接并非十分紧密，在不均匀沉降的作用下可能出现离缝、滑移等现象。因此，在2个表面间进行接触设置。法向接触选取ABAQUS中的“硬接触”，即2个面只有在压紧状态下才能传递法向力，这种法向行为限制了计算中可能发生的穿透现象。切向接触采用库仑摩擦并结合软件中引入的“弹性滑移变形”以方便数值计算。路基与轨道支承层接触面接触特性见图5。以上设置可以很好地模拟无砟轨道各层之间的连接状态，从而准确地反映出路基不均匀沉降向上传递至轨道的情况。

为充分反映路基沉降范围的影响并消除边界效应，将模型纵向长度取为60 m。在仿真过程中，通过在路基表面一定区域内施加纵向余弦型位移荷载模拟不同波长幅值分布的路基不均匀沉降，同时对路基上方的轨道结构施加自重荷载使之产生跟随性变形，并在后处理中扣除重力响应，得到静平衡位置下由路基不均匀沉降引起的双块式无砟轨道几何变形规律。

1.3 2种模型的适用性分析

利用上文中建立的双块式无砟轨道弹性地基叠合梁模型(解析模型)和空间有限元模型(数值模型)，对比了不同路基不均匀沉降幅值和波长条件下2种模型计算得到的轨面变形曲线，分别见图6、图7。图6中路基沉降波长取20 m，幅值分别取5 mm和20 mm(5 mm/20 m、20 mm/20 m)；图7中路基沉降幅值取10 mm，波长分别为10 m和40 m(10 mm/10 m、10 mm/40 m)。

由图6、图7可知，当路基存在余弦型不均匀沉降时，上部轨道结构会随之产生跟随性变形，且传递到钢轨轨面的分布形式表现为“类余弦型”，在对应于路基沉降中心处形成波峰，在对应于路基沉降端点区域，钢轨出现了微小的局部上拱现象。由图6可知：当路基沉降幅值仅为5 mm时，2种模型计算出的轨面变形曲线几乎一致，此时，上部轨道结构与路基之间仍保持贴合、跟随性良好，故钢轨的变形幅值与路基沉降幅值基本相同；当路基沉降幅值达到20 mm时，2种模型的计算结果出现明显差异，解析模型求解出的钢轨变形明显大于数值解。这是由于此种工况下的路基不均匀匀沉降已导致无砟轨道与路基结构在沉降中心区域产生离缝，而解析模型因未考虑叠合梁与地基间的局部接触失效行为，故无法准确地反映钢轨与路基之间存在的较大沉降差。

由图7可知，当路基不均匀沉降波长为10 m时，2种模型求解出的钢轨变形曲线差异明显，而当路基沉降波长扩大到40 m时，解析解和数值解的结果吻合度则很高，且钢轨变形幅值与路基沉降幅值基本保持一致。出现这一现象的原因在于，波长较短的路基不均匀沉降同样会导致轨道结构空吊，致使钢轨与路基之间出现较大的沉降差。

路基不均匀沉降未引起离缝和引起离缝2种情况下双块式无砟轨道的变形云图见图8。

由图8可知，在路基不均匀沉降作用下，钢轨、道床板和支承层因较高的整体性变形基本保持一致，而支承层与路基之间的接触行为则可能出现明显差异，表现为轨道支承层与路基接触良好(图8(a))和二者出现局部离缝(图8(b))2种形式。

上述分析表明，对于路基不均匀沉降与轨面几何变形的映射关系，解析模型和数值模型各有一定的适用范围。当路基不均匀沉降较平缓时，上部无砟轨道结构与路基之间能保证较高的跟随性，此时可运用弹性地基叠合梁模型求解，既可以高效地获得轨面各点处几何变形的解析值，便于后续的动力学计算，又可以省去有限元模拟中繁琐的接触计算；当路基不均匀沉降幅值较大或波长较短时，则需要利用有限元模型来准确地反映轨道与路基之间可能出现的离缝甚至空吊现象，从而得到更接近于实际的轨道变形特征。

2 路基不均匀沉降对双块式无砟轨道轨面几何变形的影响

结合上文中2种模型的适用条件，采用相应模型分析了不同路基沉降幅值、波长对双块式无砟轨道轨面几何变形的影响规律。

2.1 路基不均匀沉降幅值的影响

双块式无砟轨道路基不均匀沉降波长取20 m、沉降幅值从5 mm到40 mm等间隔增加，钢轨变形沿纵向变化曲线见图9。可见:在不同幅值的余弦型路基不均匀沉降作用下，钢轨的几何变形形式均为余弦型，且沉降边缘区域出现的局部上拱使钢轨变形波长相对于路基产生不同程度的扩散，扩散长度随路基沉降幅值的增大略有增大；钢轨变形幅值则随路基沉降幅值的增大呈现出增长幅度逐渐减小的非线性变化趋势；当路基不均匀沉降幅值低于15 mm时，钢轨变形曲线与路基之间差异很小，表现出较高的跟随性;随着路基沉降幅值继续增大，钢轨变形程度逐渐小于路基，最终引起轨道结构的空吊。

轨道几何变形量随路基沉降幅值的变化规律见表2。其中给出了沉降中心位置处无砟轨道支承层与路基表层之间的脱空量。该量值可以反映出轨道结构与路基之间是否出现局部接触失效的行为。由表2可知：对于波长20 m的路基不均匀沉降，当幅值小于10 mm 时，双块式无砟轨道与路基之间跟随性良好，轨面变形略小于路基，幅值相差不足0.2 mm；当路基沉降幅值达到15 mm后，中心点处支承层与路基表层出现0.96 mm的沉降差，表明轨道结构与路基之间已存在微小的离缝;随着路基沉降幅值的进一步增大，该沉降差异迅速扩大，到路基沉降幅值为 40 mm时，支承层与路基表层间的沉降差可达18.70 mm，此时双块式无砟轨道与路基之间已出现明显的空吊区域。由此说明，路基沉降波幅的增加会显著加剧上部轨道结构与路基之间的沉降差异，从而引发轨道支承层与路基表层间的离缝甚至空吊，给列车的安全、舒适运行和无砟轨道的服役性能带来隐患。

表2 轨道几何变形量随路基沉降幅值的变化规律

2.2 路基不均匀沉降波长的影响

双块式无砟轨道路基不均匀沉降幅值取20 mm，沉降波长从5 m等间隔增加到40 m时钢轨变形沿纵向变化曲线见图10。

由图10可知：当路基不均匀沉降幅值一定时，沉降波长越小，钢轨的下沉变形越微弱，与路基变形的差异越大，意味着轨道支承层与路基表层之间的空吊间隙越大，对轨道结构受力和列车运营质量的影响越显著；随着路基不均匀沉降波长增加到25 m之后，钢轨的跟随性变形逐渐趋于稳定，变形幅值与路基沉降幅值最终达到一致，并不再随路基沉降波长发生变化。

轨道几何变形量随路基沉降波长的变化规律见表3。对于幅值为20 mm的路基不均匀沉降，当沉降波长仅有5 m时，双块式无砟轨道由于其自身高度的整体性而不能与路基保持变形一致，此时钢轨轨面变形幅值仅0.21 mm，沉降中心处轨道支承层与路基表层之间的沉降差可达19.76 mm，该区域出现明显的空吊；随着路基沉降波长逐渐增大，上部轨道结构与路基之间的沉降差异迅速缩小，当沉降范围扩大到30 m之后，钢轨的变形幅值可达19.90 mm以上，沉降中心处轨道结构与路基之间沉降差为0，二者的变形基本吻合。由此可见，路基沉降波长的增加会缓解上部结构与路基之间的沉降差，从而减少局部离缝或空吊现象的发生，使无砟轨道与路基之间保持较高的跟随性。

表3 轨道几何变形量随路基沉降波长的变化规律

3 轨面几何变形与路基沉降之间的映射关系

分析表明，当路基发生余弦型不均匀沉降时，静平衡状态下无砟轨道轨面几何变形具有以下特点：(1) 基本变形形式仍可用余弦函数模拟；(2) 在沉降端点区域存在微小的局部上拱；(3) 受路基不均匀沉降波长和幅值影响显著。综上述特点，路基不均匀沉降引起双块式无砟轨道轨面几何变形曲线可由波长、波深以及局部上拱幅值3项参数确定。因此，可建立钢轨轨面几何变形特征和余弦型路基不均匀沉降的关系为

δr{λ,d,h}=

δr{fλ(s,A),fd(s,A),fh(s,A)}

(20)

式中:δr为余弦型轨面变形特征集；λ、d、h分别为轨面变形曲线的波长、波深和局部上拱幅值；fλ、fd、fh分别表示路基不均匀沉降对钢轨变形波长、波深和上拱幅值的控制作用。

钢轨的局部上拱会导致轨面变形波长相对于路基有所扩散，因此在描述无砟轨道轨面余弦型变形曲线时，以钢轨局部上拱幅值点作为曲线的端点，钢轨变形波长为对称的2处上拱峰之间的距离。双块式无砟轨道钢轨轨面变形波长随路基不均匀沉降波长和幅值的变化曲线见图11。由图11可以看出，当路基沉降幅值一定时，轨面变形波长随路基沉降波长的增大基本呈现线性增大的规律，相对于初始路基沉降范围的扩散程度均小于5 m, 仅在路基沉降波长为30 m时扩散程度达到6.2 m；当路基沉降波长一定时，轨面变形波长随路基沉降幅值的增大而逐渐增大，增长幅度在1～3 m。

钢轨变形幅值随路基不均匀沉降波长和幅值的变化曲线见图12。可知：对应于不同路基沉降幅值的各条曲线均存在明显的拐点，在路基沉降波长达到拐点前，轨面下沉幅值随沉降波长的增大近似呈线性增大，而当路基沉降波长达到拐点之后，轨面变形幅值的增长逐渐平缓，并趋于稳定；当路基沉降波长一定时，轨面变形幅值随路基沉降幅值的增大而增大，且沉降波长越大增大的程度越明显;当路基沉降波长仅为5 m时，尽管路基沉降幅值从5 mm扩大到40 mm，但轨面变形幅值仅变化了约0.1 mm，而当路基沉降波长达到40 m时，轨面变形幅值随路基沉降幅值增大了近35 mm。

钢轨局部上拱幅值随路基不均匀沉降波长和幅值的变化曲线见图13。可知：当路基沉降波长小于10 m时，钢轨局部上拱幅值尚不足0.1 mm，且几乎不受路基沉降幅值变化的影响；当路基沉降波长扩大到15 m之后，该上拱幅值随路基沉降幅值近似呈线性增大，且在沉降波长为15～30 m的区间内增长最明显；当路基沉降幅值一定时，钢轨局部上拱幅值则随着沉降波长的增大呈现先增大后减小的趋势；在路基不均匀沉降波长小于10 m或大于35 m时，钢轨的上拱程度较小，幅值均小于0.3 mm，而在路基沉降波长在15～30 m 时，钢轨局部上拱现象十分明显，上拱幅值较大，在路基不均匀沉降为40 mm/20m时甚至可以达到1.10 mm。

值得注意的是，本文旨在描述静平衡状态下路基不均匀沉降与轨面几何变形间的对应关系，在研究中未考虑列车循环荷载和外界环境因素的影响。而实际工程中，路基不均匀沉降的产生和分布具有随机性，且上部轨道结构变形是自重、列车、环境等多重因素影响下的长期累积效应。若要真实地还原其特征还需要进行长期、大量的深入研究。

4 结论

无砟轨道对基础结构变形十分敏感。本文通过建立路基不均匀沉降作用下双块式无砟轨道系统的解析模型和考虑层间接触非线性的有限元模型，对静平衡状态下路基不均匀沉降引起的轨面几何变形开展了研究，明确了轨面变形特征和路基不均匀沉降之间的对应关系。主要结论如下：

(1) 余弦型路基不均匀沉降在向上传递时会导致钢轨产生“类余弦”变形，且在沉降端点附近存在微小的局部上拱，导致轨面变形波长相对于路基沉降范围有所扩散；轨面变形曲线可由波长、波深和上拱幅值3项几何特征确定，各项特征受路基沉降波长、幅值的综合控制。

(2) 路基不均匀沉降引起的轨面变形波长随路基沉降波长呈线性增大趋势，相对于路基沉降波长的扩散长度约在5 m以内，且路基沉降幅值从5 mm增大到40 mm时，会导致该扩散范围增大约1.5 m。

(3) 路基不均匀沉降引起的轨面变形波深受沉降波长和幅值的影响显著。当路基沉降幅值在40 mm以内时，轨面变形波深随路基沉降波长表现出先迅速增大后趋于平缓的变化规律。拐点处对应的路基沉降波长基本在15～25 m。路基不均匀沉降在达到拐点对应的波长、幅值之前，会引发双块式无砟轨道支承层与路基表层之间明显的离缝甚至空吊。

(4) 路基不均匀沉降引起的轨面局部上拱现象在沉降波长不足10m时十分微弱，而在路基沉降波长在15～30 m时较为突出，且在该波长区间内，轨面上拱幅值随路基沉降幅值的增大显著增大。

(5) 路基不均匀沉降对无砟轨道轨面平顺性影响显著，特别是双块式无砟轨道结构由于较强的整体性而易与路基出现离缝，且由路基变形引起的钢轨局部上拱现象在列车经过时会引起周期性的拍打效应，给列车运营质量和无砟轨道服役寿命造成隐患，实际工程中应对其加以严格控制。

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