提炼数学开放题激发学生数学能力

朱祖旭

摘 要：开放题是数学教学中的一种新题型，它是相对于传统的封闭题而言的。开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。本文就学生开放意识的形成、开放问题的构建、开放问题的探索等方面谈谈自己的看法。

关键词：高中数学；开放意识；问题意识

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）09-320-01

经过几年的教育改革和教材的变更，学生们在课堂上的接收知识的能力和效率越来越受到重视和关注。如何将数学课堂生机勃勃，提高学生的数学能力，需要学生一定的开放意识。在教材还没有提供足够的开放题之前，好的开放题从那里来？我认为最现实的办法是让“封闭”题“开放”。

一、开放意识的形成

学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新方案。因此首先必须改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识，为此，我们选择了数学开放题作为一个切入口，开放题的引入，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。

关于开放题目前尚无确切的定论，通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。例如2000年理19文20题。

函数单调性的参数取值范围问题（既有条件开放又有结论的开放，条件上，对 ，是选择 ，还是选择 ？选择前者则得 ，以后的道路荆棘丛生，而选择后者则有 ，以后的道路一片光明；结论开放体现在结论分为两段，一段上可使函数单调，另一段上不单调，且证明不单调的方法是寻找反例）；

二、开放问题的构建

有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。根据创造的三要素：“结构、关系、顺序”，我们可以为学生构建由“封闭”题“开放”的如下框图模式：

例1：由圆x2+y2=4上任意一点向x轴作垂线。求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程。（《高中平面解析几何》复习参考题题）

问题本身开放：先从问题中分解出一些主要“组件”，如：A、“圆x2+y2=4”；B、“x轴”；C、“线段中点”等。然后对这些“组件”作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。

对A而言，圆作为一种特殊的曲线，我们将其重新定位在“曲线”上，那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素，于是改变条件A（大小或形状或位置）就可使问题向三个方向延伸。

如改变位置，将A写成“（x-a）2+（y-b）2=4”，即可得所求的轨迹方程为（x-a）2+（2y-b）2=4；再将其特殊化（取a=0），并进行新的组合便有问题：圆x2+（y-b）2=4与椭圆x2+（2y-b）2=4有怎样的位置关系？试说明理由。

简解：解方程组 得 y=0 或y=2b/3

当y=0时，x2+b2=4，（1）若b<-2或 b>2，圆与椭圆没有公共点；

（2）若b=±2，圆与椭圆恰有一个公共点；

（3）若-2

当y=2b/3时，x2+b2/9=4，同理可得解。

上面的解法是从“数”着手，也可以从“形”着手分析。

再进一步延伸，得：当b>6时，圆x2+（y-b）2=4上的点到椭圆x2+（2y-b）2=4上的点的最大距离是多少？这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。

对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其推广到一般，若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、高考试题。

三、开放问题的探索

开放的行为给上面三个简单的问题注入了新的活力，推陈出“新”、自己给自己出题是人自我意识的回归。开放的过程说白了就是探索的过程。

例2：已知抛物线 ，过焦点F的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x1，y）两点，P（x0，y0）是线段AB的中点；抛物线的准线为l，分别过点A、B、P作x轴的平行线，依次交l于M、N、Q，连接FM、FN、FQ、AQ和BQ（图略）

（1）试尽可能地找出：点A、B、P的纵、横6个坐标所满足的等量关系；

图中各线段的垂直关系。

（2）如果允许引辅助线，你还能发现哪些结论？

分析与解：（1）（a）点A、B、P的6个坐标x1，y1；x2，y2；x0，y0之间至少有下列等量关系：

① ；② ；③ ；

④ ；⑤ ；⑥

“所有的画都是以只有3种原色的方式构成的。每当我们把某样东西说成是新的的时候，我们真正谈论的是现有元素独特的存在方式。”具备对“封闭”题“开放”的意识的学生，事实上就有了创造意识，这种意识驱动下的实践自然会使创造力得以发展；同时，随着高考命题改革的进一步深入，我想这样的“开放”会在高考中更显示其生命力。