无中生有长方体 巧解一类立体题

赵志攀

摘 要：长方体内蕴涵着丰富的点、线、面的相等、平行、垂直等关系，结构对称，是研究线面关系、特殊几何体的一个重要载体，亦是展开空间想象的重要依托。本文将通过近年来部分高考试题中外接球的问题谈一谈巧建长方体的应用。

关键词：长方体；正方体；外接球

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）09-219-01

众所周知，长方体因其结构对称，各元素之间具有相等、平行、垂直等关系，内涵丰富，位居立体几何中的基本几何体首位，是研究线面关系、特殊几何体的一个重要载体，亦是展开空间想象的重要依托。

《普通高中数学课程标准》中对立体几何初步的学习提出了基本要求：“在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；……。”有关外接球的立体几何问题是近年各省高考试题的重难点之一，本文将通过近年来部分高考试题中外接球的问题谈一谈巧建长方体的应用。

例1：（2012年辽宁卷）已知正三棱锥P- ABC，点P，A，B，C都在半径为 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________。

解析：遇到“正棱锥中 PA，PB，PC两两互相垂直”的环境，易可构造正方体如图1，因正三棱锥P- ABC的外接球与该正方体的外接球为同一个球，所以线段PD为球直径，球心为线段PD中点O，由正方体的性质可得P到平面ABC的距离为线段PD的 ，O到平面ABC的距离为线段PD的 。此空应填：

长方体的一个角即是PA，PB，PC两两互相垂直的环境，不仅如此正方体模型还可“包容”正四面体环境，如下图2：其中正四面体 镶嵌于正方体之中，其外接球为同一个，正四面体棱长 ，则对应正方体的棱长为 ，正方体的体对角线为 ，所以球半径 。 依此办法可以轻松解决有关球内接正四面体的问题。

例2：（2006年山东高考题）在等腰梯形 中， ， ， 为 的中点，将 与 分布沿 、 向上折起，使 、 重合于点 ，则三棱锥 的外接球的体积为（ ）.

解析：不难发现题目中的“垂直”条件很是丰富，将题目中的三棱锥复原于长方体（正方体）中如下图：

由题意知，此正方体的棱长为1，球的半径为： 体积为： ，选A

例4：（2010全国卷1理数）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）

（A） ；（B） ；（C） ；（D）

解析：仔细分析题意，线面的垂直、平行关系虽早已不见踪影，但条件“AB=CD=2”仍可以帮我们将此四面体ABCD复原于长方体内，如下图六：

设长方体的长、宽、高分别为： ，则由题意得： ，又因为球半径为2，所以长方体的体对角线为4，即有 ，可得 ，所以 ，

而四面体ABCD相当于长方体切掉四个等大的“角”，所以四面体ABCD体积为长方体体积的 ，所以四面体ABCD的体积 ，而 ，由不等式得 ，体积的最大值为 ，当且仅当 时等号成立。

无中生有长（正）方体，巧解以上四个题皆是归功于最大限度地开发了存在于长方体中的丰富的线面的垂直、平行关系以及长方体特有的数量关系，巧妙地将“体形各异”的三棱锥复原于对应的长方体或正方体中，而三棱锥的外接球与对应的长（正）方体的外接球是同一个，所以球心的位置以及球半径与椎体棱长的关系则显而易见。