关于“线性空间中集合相对内部性质成立的条件”一文的注记

晏妮(贵州工程应用技术学院理学院，贵州毕节551700)



关于“线性空间中集合相对内部性质成立的条件”一文的注记

晏妮
(贵州工程应用技术学院理学院，贵州毕节551700)

摘要：指出文章“线性空间中集合相对内部性质成立的条件”中的命题4是错误的，并以Banach空间和连续函数空间中的例子说明闭集的仿射包不一定是闭集。

关键词：闭集；闭包；仿射包；空间；收敛；相对拓扑内部

引言

凸性与广义凸性在数学与应用数学的各个领域起着举足轻重的作用，而在凸性与广义凸性研究中，仿射包有着十分重要的作用，例如集合的相对代数内部与相对拓扑内部本身就是用仿射包来定义的（文[1][2][3]）,文[4]中的第二部分主要得到了相对拓扑内部的一些性质、相对拓扑内部与相对代数内部的关系、拓扑内部与相对拓扑内部的关系，其中的命题4中得出了闭集的仿射包是闭集的结论，并应用此结论证明了命题1，但我们发现文[4]中的命题4的结论是不正确的，证明过程中运用的是对任意的定向族，有，则就是闭集这一结论，其中把中的表示为=的这一步以及后面的证明思想都不对，那么闭集的仿射包是闭集吗？本文将讨论此问题的反例，并对文[4]的命题1重新补充证明。

1预备知识

affE=包含E的最小的仿射集

2 两个反例

命题2.1（文[4]中的命题4） 设A为线性空间E中的闭集，则affA也为E中的闭集。

此命题是不成立的，下面我们举例说明闭集的仿射包不一定为闭集。

例2.1:取Banach空间C，其中C是由所有收敛数列组成的线性空间，对，简记为它是完备的。

等等。

由此知，

令

所以

那么我们有

进而

依照上面的方法逐渐得到

3 文[4]命题1的证明

设X为实数域R上的线性空间,E为实数域R上的拓扑线性空间。

定义3.2[]1设A为E的子集，则点，满足对a的任意一个邻域V，

命题3.1[]4设A,B为X的两个子集，任意的则有

，x0为X中的一个向量。

引理3.1[6]设A为E的子集，任意的则有

参考文献：

[1]史树中.凸分析［M］.上海：上海科学技术出版社，1990:1-93.

[2]高国士.拓扑空间论[M].北京：科学出版社，2000:1-116.

[3]寇述舜.凸分析与凸二次规划[M].天津：天津大学出版社，1994:1-49.

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（责编：郎禹责校：明茂修）

Noteson the Paper Conditions Assuring Propertiesof the Relative Interior of Sets in a Linear Space

YANNi
(Schoolof Science,Guizhou University of Engineering Science,Bijie,Guizhou551700,China)

Abstract:This paper notices that the proposition4 of the paper conditionsassuring properties of the rela⁃tive interior of sets in a linear space is incorrect,and examplesof Banach spaceand the continuous func⁃tion space in thisarticle illustrates thatclosed aggregate'saffinehull isnotnecessarily a closed aggregate.

Key words:Closed Aggregate;Closure；Affine Hull；Space；ConvergentSequence；Relative Topologi⁃cal Interior

作者简介：晏妮（1974-），女，贵州纳雍人，贵州工程应用技术学院理学院讲师。研究方向：最优化原理。

收稿日期：2015-09-11

中图分类号：O174.13

文献标识码：A

文章编号：2096-0239（2016）01-0143-05