一种低旁瓣方向图修正的MIMO雷达波形设计方法

李奕蓉,胡捍英

(解放军信息工程大学导航与空天目标工程学院,河南郑州 450000)



一种低旁瓣方向图修正的MIMO雷达波形设计方法

李奕蓉,胡捍英

(解放军信息工程大学导航与空天目标工程学院,河南郑州 450000)

摘要:在多输入多输出雷达波形设计中,降低发射方向图旁瓣能够抑制旁瓣杂波和虚假目标能量,提高接收信噪比,从而改善角度估计性能.鉴于此,提出一种基于低旁瓣方向图修正的多输入多输出雷达波形设计方法.该方法在采用半正定松弛技术求解得到发射信号相关矩阵的基础上,通过改变信号相关矩阵的非对角线元素,建立低旁瓣方向图修正模型,对方向图旁瓣进行抑制.最后,根据修正后的信号相关矩阵获得波束加权矩阵,并采用ESPRIT算法进行到达角估计.同时,还对所提方法的可行性进行了分析.仿真结果表明,所提方法能够有效地降低方向图旁瓣,提高角度估计精度和角度分辨率.

关键词:多输入多输出雷达;到达角估计;波形设计;低旁瓣;发射方向图

波形分集[1-3]能力是多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)雷达区别于其他体制雷达的一个重要特性,尤其是对集中式多输入多输出雷达[4-5]来说,通过灵活地设计发射信号,可以提高参数估计精度和检测概率等多方面的性能.现有的多输入多输出雷达大多发射正交波形[6-7],发射功率在空间全向均匀分布,有利于在雷达探测初始阶段进行全空检测.但是,发射正交波形会导致接收信噪比降低.以角度估计为例,当空间目标位置较近时,若依然采用正交波形,将会导致目标范围内信号获得的功率较小,极大地影响接收端角度估计性能.因此,近年来以提高多输入多输出雷达参数估计精度为目的的部分相关波形设计方法得到了广泛研究.

为了方便接收端进行匹配滤波,现有的部分相关波形设计大多是通过设计波束加权矩阵对正交信号进行加权,形成满足要求的发射波束.针对单基地多输入多输出雷达,文献[8]以最小化到达角(Direction Of Arrival,DOA)估计的克拉美罗界(Cramer-Rao Bound,CRB)为目标建立优化模型,并进行求解.但是,该方法并没有考虑信号的旋转不变性,若要使用避免谱峰搜索的基于旋转不变特性的信号参数估计(Estimating Signal Parameters via Rotational Invariant Technique,ESPRIT)算法,必须保证接收阵列为均匀线阵.文献[9]将信号的旋转不变性考虑到加权矩阵的优化模型中,利用凸优化方法求解加权矩阵,能够在接收端采用ESPRIT算法进行到达角估计,解除了接收阵列为均匀线阵的限制,避免了谱峰搜索带来的高复杂度.但是,该方法不能保证每个阵元的发射功率相等,降低了雷达的总发射功率,进而降低了探测距离.文献[10]在文献[9]的基础上,同时考虑每个阵元发射功率相等、方向图匹配性能以及接收信号的旋转不变性,建立波束加权矩阵的优化模型,到达角估计性能优于文献[9].但是,该方法并没有对方向图旁瓣进行额外限制,导致得到的方向图旁瓣较高,接收信噪比降低,到达角估计性能依然受到限制.

针对上述问题,笔者提出一种基于低旁瓣方向图修正的多输入多输出雷达波形设计方法,用于进一步提高多输入多输出雷达到达角估计性能.首先,根据文献[10]的模型,建立波束加权矩阵的基本优化模型;然后,采用半正定松弛技术将该非凸优化问题松弛为凸优化问题,求解得到发射信号相关矩阵;紧接着,为了解决文献[10]设计信号形成的发射方向图旁瓣较高的问题,提出一种低旁瓣方向图修正方法,通过修正发射信号相关矩阵的非对角线元素,有效地降低了方向图旁瓣,提高了接收信噪比;最后,将信号相关矩阵转换为波束加权矩阵,并采用ESPRIT算法进行角度估计.

1 多输入多输出雷达模型

1.1 信号模型

假设单基地多输入多输出雷达有M个发射阵元,N个接收阵元,阵元之间集中式放置.其中,发射阵列为均匀线阵,阵元间距为d.令ϕ(t)=[ϕ1(t),…,ϕK(t)]T,为t时刻的K×1维窄带发射信号向量,K为发射波束个数(K＜M,适当减少发射波束个数可提高每个波束的发射功率).假设各阵元发射信号相互正交.为了将能量有效地集中于空间感兴趣的区域内,引入M×K维波束加权矩阵W=[w1,…,wk]来对发射信号进行处理,经过加权处理后的发射信号为

则发射信号的设计等效于波束加权矩阵W的优化.

发射方向图反映了空间能量分布情况,其表达式为

设一个脉冲内的发射总功率为E,则t时刻到达空间θ处的信号为

假设感兴趣的区域内共存在L个互不相关的目标,则经目标反射并于t时刻到达接收阵列的第τ个回波脉冲为

其中,αl(τ)为第τ个脉冲在目标l上的散射系数,b(θl)为第l个目标的接收导向矢量,z(t,τ)为噪声项.由于ϕ(t)中各信号具备正交性,因此,在接收端利用ϕk(t)对r(t,τ)进行匹配滤波后的信号可以表示为

1.2 到达角估计的克拉美罗界

由式(6)中的接收信号模型,引入波束加权矩阵W后到达角估计的克拉美罗界可以表示为[9]

1.3 波束加权矩阵W的基本优化模型

为了在接收端采用不需要谱峰搜索的ESPRIT算法进行角度估计,同时放宽对接收阵列阵型的要求,接收端信号应满足旋转不变性.假设发射波束K为偶数,则满足信号旋转不变性的波束加权矩阵W的结构[]为

其中,Pd(θq)为期望方向图,θq∈[-π/2,π/2],Q为角度细分的网格数.式中约束条件C1及C2表示发射方向图与期望方向图匹配;C3表示每个阵元的发射功率相等,用于保证雷达向全空域发射总功率最大.式(10)为非凸优化问题[10],不容易获得最优解.

2 基于低旁瓣方向图修正的多输入多输出雷达波形设计方法

笔者提出了一种基于低旁瓣方向图修正的多输入多输出雷达波形设计方法:首先,将式(10)松弛为凸优化问题,求解发射信号相关矩阵;然后,建立低旁瓣方向图修正模型,对信号相关矩阵的非对角线元素进行修正,抑制发射方向图旁瓣,以改善接收信噪比,提高到达角估计性能.

2.1 发射信号相关矩阵的求解

式(10)为非凸优化问题,应该将其转换为凸优化问题来求解.构造矩阵Ai,满足

则根据矩阵迹的性质,可得

定义X=wwH,虽然X的定义与真正的发射信号相关矩阵Rψ有所区别,但两者具有等效性(2.3节对此进行了说明),因此也将X称为发射信号相关矩阵.引入X后,式(10)将转换为对X进行优化.但是,注意到X必须满足rank(X)=1,这个限制条件是非凸的,会导致整个优化问题难以求解.因此,笔者采用半正定松弛(Semi-Definite Relaxation,SDR)技术[11]对该条件进行松弛,则式(10)中关于w的优化问题可以转化为对发射信号相关矩阵X的优化:

式(14)为半正定规划(Semi-Definite Programming,SDP)问题,可利用Matlab凸优化工具箱来有效求解.但是,由于上述方法在优化过程中没有对方向图旁瓣进行额外限制,将导致设计得到的方向图旁瓣较高,影响接收信噪比.为了提高接收信噪比,应对其旁瓣进行抑制.接下来建立低旁瓣方向图修正模型.

2.2 低旁瓣方向图修正模型

文献[12]给出了一种信号相关矩阵Rψ的优化模型来降低方向图旁瓣.而对笔者来说,根据式(14)仅能求解出X,因此,参照文献[12]的模型,采用对X的非对角线元素进行修正的方法来降低方向图旁瓣.定义方向图修正矩阵为B,其对角线元素为零,以最小化发射方向图的旁瓣值为目标建立的优化模型为

其中,Ω表示旁瓣区域,定义为主瓣以外的区域.约束条件C1表示积分旁瓣最小化,C2保证信号相关矩阵的对角线元素不变,C3保证了修正后的X依然是Hermitian矩阵,C4保证修正后的矩阵仍为半正定矩阵.α为一预先给定的参数,用于调节发射方向图主瓣失真和旁瓣降低程度.式(15)也是一个半正定规划问题,可利用Matlab凸优化工具箱来求解.

根据上述模型获得修正矩阵B的最优解后,则最终的信号相关矩阵可以表示为X=X-B.根据X= wwH,采用随机化方法[11]求解波束加权向量w.在求解得到w后,即可由式(9)构造满足信号旋转不变性的波束加权矩阵W,至此完成发射信号的设计.发射信号设计完成后,即可在接收端采用ESPRIT算法(具体实现可参照文献[9])进行到达角估计.

2.3 算法可行性分析

旁瓣抑制可通过改变方向图的空间分布特性来实现.由式(2)可知,发射信号相关矩阵Rψ决定了发射方向图的空间分布特性,理论上应通过修正Rψ来抑制旁瓣.但是,Rψ只能由式(14)得到的X间接求解,求解复杂度较高,并且笔者最终需要的波束加权矩阵W也是由X求解得到的.因此,从这几方面考虑,相比于Rψ,通过修正X来抑制方向图旁瓣显得更为合理.但是,必须保证X与Rψ形成的方向图具有相同的空间分布特性,才能使得修正X能够达到与修正Rψ一样的旁瓣抑制效果.接下来对此进行证明.

定理1 X与Rψ形成的方向图具有相同的空间分布特性.

设X和X1对应的方向图分别为PX(θ)和PX1(θ),令a(θ)中c=2dλ,则由式(2)可得

其中,Re(·)表示取实部.信号相关矩阵Rψ= WWH= X+X1,由式(18)可知,Rψ对应的发射方向图P(θ)= 2PX(θ),说明X形成的方向图与Rψ形成的方向图具有相同的空间分布特性,只不过在幅度上有两倍的差别.

当k＞2时,证明过程与k=2时的类似,在此不再赘述.定理得证.

基于以上分析,通过修正X来建立低旁瓣方向图修正模型是合理的.由于X与Rψ在反映方向图空间分布特性上具有上述的等效性,因此,笔者也将X称为发射信号相关矩阵.接下来给出建立模型时,只对X中非对角线元素进行修正的原因.

由式(14)中的约束条件C3可知,在进行低旁瓣方向图修正时,应该保持X的对角线元素不变,以满足对每个阵元发射功率的限制.而X的非对角线元素直接影响方向图的空间分布特性,因此应该对X的非对角线元素进行修正.接下来对此进行证明.

定理2 X的非对角线元素直接影响方向图的空间分布特性.

证明 令M×M维矩阵X0的对角线元素与X保持一致,其余元素设为零.X0对应的方向图是全向的,记为P0(θ)=aH(θ)X0a(θ).定义方向图的空间分布的非均匀性γ,用于反映X形成的方向图相对于全向方向图的分布特性,γ的定义式为

其中,X-X0中只包含X的非对角元素,其余均为零.式(19)说明X的非对角线元素直接决定了γ的大小,即方向图的空间分布特性.定理得证.

由上述定理可知,通过修正X的非对角线元素,可以改变发射方向图的空间分布特性,实现旁瓣抑制.同时,当发射方向图总功率一定时,由于主瓣分配的功率远大于旁瓣,因此旁瓣功率分配的改变不会对主瓣形状造成大的失真[12].

以上分析说明了笔者所提算法的可行性.接下来对笔者提出算法的性能进行仿真及分析.

3 仿真及性能分析

假设单基地多输入多输出雷达发射阵列为均匀线阵,阵元数M=10,阵元间距为λ/2;接收阵元数N=10,接收阵列为直线阵,阵元位置随机分布在[0,4.5λ]的范围内.发射总功率E=M,发射波束个数K=2,发射阵元发射信号ϕ(t)为已知的正交信号.感兴趣的方向为[-10°,10°],α=15/M.噪声服从零均值、方差为σ2z的复高斯分布,目标散射系数服从零均值、方差为σ2α的复高斯分布.选择正交波形和文献[10]中设计的波形作为对比算法.

3.1 方向图旁瓣抑制效果

图1为正交波形、文献[10]中的设计波形以及笔者进行低旁瓣方向图修正后的波形所形成的发射方向图.可以看到,正交波形所形成方向图在空间全向分布.文献[10]和笔者设计所形成的方向图均能够将能量聚集在感兴趣的区域内.由于笔者提出的算法采用了低旁瓣方向图修正法,相比于文献[10]中设计的方向图,旁瓣值得到了有效降低,尤其是离主瓣较近的第一副瓣值显著降低了,但是主瓣形状略有失真.旁瓣值(尤其是第一副瓣值)的降低能够抑制旁瓣杂波和虚假目标能量,一方面可以减小其对主瓣内信号的干扰,另一方面可以使能量集中在主瓣区域内,进而提高接收信噪比.

图1 发射方向图　

图2 克拉美罗界随信噪比变化曲线

图3 均方根误差随信噪比变化曲线　

图4 角度分辨的成功概率随信噪比变化曲线

3.2 到达角估计性能

假设感兴趣的方向内存在两个目标,其方位角分别为θ1=6°和θ2=7°,快拍数为50,在接收端均采用ESPRIT算法进行到达角估计,进行500次蒙特卡洛试验.图2～图4分别给出了3种方法到达角估计的克拉美罗界、均方根误差(Root-Mean-Square Error,RMSE)以及角度分辨的成功概率随信噪比变化的情况.由图可知,正交波形多输入多输出雷达的角度估计性能最差,这主要是因为正交波形多输入多输出雷达形成全向方向图,使得大部分能量浪费在感兴趣的区域之外,造成接收信噪比降低.另一方面,笔者提出的算法和文献[10]中的算法仅采用K(K＜M)个发射波束,使得在总功率一定的条件下,每个波束的发射功率增大,同时,笔者提出的算法和文献[10]中的算法还将能量聚集于感兴趣的区域内,因此到达角估计性能优于正交波形多输入多输出雷达.而笔者提出的算法由于采用了低旁瓣方向图修正方法,能够进一步降低旁瓣杂波和虚假目标对主瓣内信号的干扰,减少能量在非感兴趣区域(旁瓣区域)的耗散,提高了接收信噪比,从而使得到达角估计精度和角度分辨率相对于文献[10]中的能够得到进一步提高.

4 总 结

针对单基地多输入多输出雷达提出了一种基于低旁瓣方向图修正的波形设计方法,用于改善到达角估计性能.首先,获得发射信号相关矩阵;然后,利用低旁瓣方向图修正方法,对信号相关矩阵的非对角线元素进行修正,达到降低方向图旁瓣的目的.仿真结果表明,笔者提出的方法能够有效地降低方向图旁瓣,使能量集中在感兴趣区域内,提高接收信噪比,改善角度估计精度和角度分辨率.但是,由于笔者在构造波束加权矩阵时,采用对偶的方法来满足信号的旋转不变性,要求发射波束必须为偶数.在后续研究中,可以对如何构造既满足旋转不变性,又不受波束数量限制的波束加权矩阵进行研究.

参考文献:

[1]JIU B,LIU H,FENG D,et al.Minimax Robust Transmission Waveform and Receiving Filter Design for Extended Target Detection with Imprecise Prior Knowledge[J].Signal Processing,2012,92(1):210-218.

[2]HUA G,ABEYSEKERA SS.MIMO Radar Transmit Beampattern Design with Ripple and Transition Band Control[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2013,61(11):2963-2974.

[3]王旭,周生华,刘宏伟,等.一种空时联合优化的MIMO雷达波形设计方法[J].西安电子科技大学学报,2014,41 (3):41-49.WANG Xu,ZHOU Shenghua,LIU Hongwei,et al.Waveform Design Method for MIMO Radar Based on Joint Spatial and Temporal Optimization[J].Journal of Xidian University,2014,41(3):41-49.

[4]LI J,STOICA P.MIMO Radar with Colocated Antennas:Review of Some Recent Work[J].IEEE Signal Processing Magazine,2007,24(5):106-114.

[5]KALOGERIAS D,PETROPULU A.Matrix Completion in Colocated MIMO Radar:Recoverability,Bounds& Theoretical Guarantees[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2014,62(2):309-321.

[6]HE H,STOICA P,LI J.Designing Unimodular Sequence Sets with Good Correlations-including an Application to MIMO Radar[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2009,57(11):4391-4405.

[7]SONG X,ZHOU S,WILLETT P.Reducing the Waveform Cross Correlation of MIMO Radar with Space-time Coding [J].IEEE Transactions on Signal Processing,2010,58(8):4213-4224.

[8]TANG Y H,MA X F,SHENG W X,et al.Transmit Beamforming for DOA Estimation Based on Cramer-Rao Bound Optimization in Subarray MIMO Radar[J].Signal Processing,2014,101(1):42-51.

[9]HASSANIEN A,VOROBYOV S A.Transmit Energy Focusing for DOA Estimation in MIMO Radar with Colocated Antennas[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2011,59(6):2669-2682.

[10]KHABBAZIBASMENJ A,HASSANIEN A,VOROBYOV S A,et al.Efficient Transmit Beamspace Design for Searchfree Based DOA Estimation in MIMO Radar[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2014,62(6):1490-1500.

[11]LUO Z Q,MA W K,SO A M C,et al.Semidefinite Relaxation of Quadratic Optimization Problems[J].IEEE Signal Processing Magazine,2010,27(3):20-34.

[12]罗涛,关永峰,刘宏伟,等.低旁瓣MIMO雷达发射方向图设计[J].电子与信息学报,2013,35(12):2815-2822.LUO Tao,GUAN Yongfeng,LIU Hongwei,et al.Low Sidelobe Transmit Pattern Design for MIMO Radar[J].Journal of Electronics&Information Technology,2013,35(12):2815-2822.

(编辑:郭 华)

简 讯

日前,中国电子学会第二十一届青年学术年会在我校召开.会议邀请了东南大学信息科学与工程学院副院长崔铁军教授、中科院上海生命科学研究院李澄宇研究员、我校高新波教授和电子科技大学物理电子学院副院长肖绍球教授等4位电子信息领域著名专家,分别作了题为《电磁超材料·从等效媒质到现场可编程》、《工作记忆的动态神经环路》、《基于三元空间融合的模式识别新范式》和《宽角扫描平面相控阵天线研究》的学术报告.会议就天线、通信、机器人、计算机、控制科学、电子科学与技术领域的最新进展、发展趋势以及在我国高新技术产业中的应用展开了交流与讨论.

摘自《西电科大报》2015.11.14

MIMO radar waveform design method via low sidelobe beampattern modification

LI Yirong,HU Hanying
(Institute of Navigation and Space Target Engineering,Information Engineering Univ.,Zhengzhou 450000,China)

Abstract:In the design of the multiple-input multiple-output(MIMO)radar waveform,decreasing transmit beampattern sidelobes could reduce the energy of clutters and false targets from sidelobes and increase the received signal to noise ratio(SNR)so as to improve the angle estimation property.Motivated by this idea,a transmit waveform design method based on low sidelobe beampattern modification is proposed for MIMO radar.First,the transmit waveform cross-correlation matrix can be obtained by the semidefinite relaxation(SDR)technique.Then the essence of our method is to establish an optimization modification model to reduce the beampattern sidelobe by changing the non-diagonal elements of the waveform cross-correlation matrix.Finally,the corresponding transmit beamforming weight matrix is obtained by this modified matrix,and the ESPRIT algorithm is used for the direction of arrival(DOA) estimation.Meanwhile,the feasibility of our method is demonstrated.Simulation results show the superiorities of our method in sidelobe suppression,DOA estimation accuracy and angle resolution.

Key Words:multiple-input multiple-output radar;direction of arrival estimation;waveform design;low sidelobe;transmit beampattern

作者简介:李奕蓉(1990-),女,解放军信息工程大学硕士研究生,E-mail:liyirong131@163.com.

基金项目:国家科技重大专项资助项目(2011ZX03003-003-02)

收稿日期:2014-11-06 网络出版时间:2015-05-21

doi:10.3969/j.issn.1001-2400.2016.02.023

中图分类号:TN958

文献标识码:A

文章编号:1001-2400(2016)02-0132-07

网络出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150521.0902.020.html