两两NQD阵列加权和的LP收敛性

宋明珠， 吴永锋， 向亚云

(铜陵学院 数学与计算机学院， 安徽 铜陵 244000 )



两两NQD阵列加权和的LP收敛性

宋明珠， 吴永锋， 向亚云

(铜陵学院 数学与计算机学院， 安徽 铜陵 244000 )

摘要：研究了两两NQD阵列加权和的Lp收敛性，在更弱的条件下得到与陈平炎相同的结论，改进和推广了前人的研究成果.

关键词：两两NQD阵列； 加权和； Lp收敛性

SONG Mingzhu, WU Yongfeng, XIANG Yayun

(InstituteofMathematicsandComputing,TonglingUniversity,Tongling244000,AnhuiProvince,China)

1引言和引理

两两NQD (Negatively Quadrant Dependend)列的概念是由统计学家LEHMANN[1]于1966年提出，其定义如下：

定义1若∀x,y∈R,都有

P(X≤x,Y≤y)≤P(X≤x)P(Y≤y),

两两NQD列是一类非常广泛的随机变量序列，著名的NA序列[2]、LNQD序列[3]都是其特殊情况，因此对两两NQD列的研究显得更为迫切.两两NQD列极限理论的研究已取得了一些成果，详见文献[4-11].

定义2若

文献[7]在2阶Cesàro一致可积的条件下，得到了两两NQD列的Lp收敛性.文献[8]在p(1≤p<2)阶Cesàro一致可积的条件下，得到了与文献[7]相同的结果.

本文在更弱的条件下得到与文献[8]相同的结论，改进和推广了前人的研究成果.

引理1[1]设随机变量X和Y是NQD的，则

(1)EXY≤EXEY;

(2) 对∀x,y∈R,都有

P(X>x,Y>y)≤P(X>x)P(Y>y);

(3) 如f,g同为非降(或非增)函数，则f(X)与g(Y)仍为NQD的.

则有

2主要结果及证明

对任意给定的ε>0，有

(1)

只须证I1→0,I2→0(n→∞).

I1→0(n→∞).

(2)

由Zni的定义，知

因为EXni=0,所以∀t≥ε,有

则存在N1∈N,对∀n>N1,t≥ε,有

由引理2和Cr-不等式得，对∀n>N1,有

CI1=∶CI3+CI1.

(3)

下证I3→0.

对∀n>N1，t≥ε,有

(4)

因为ε是给定的常数，由条件(1)、(2)得

(5)

又因为

(6)

由式(1)～(6)可得定理1成立.

则

(7)

则

由式(7)可得，对∀ε>0,∃x0>0,

当x>x0时,有

由1≤p<2以及ε的任意性，可得

即推论1(ii)成立，由推论1知推论2成立.

注由推论2的证明过程可知，本文在更弱的条件下获得了与文献[8]相同的结论，进而推广并改进了文献[8]的结果.

参考文献(References)：

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Lpconvergence for weighted sums of arrays with pairwise NQD sequences. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(2):164-167

Abstract:Lp convergence for weighted sums of arrays with pairwise NQD sequences was studied. The corresponding results about CHEN are obtained under the weaker conditions, which extends the well-known theorems in the previous papers.

Key Words:arrays with pairwise NQD sequences; weighted sums; Lp convergence

中图分类号：O 211.4

文献标志码：A

文章编号：1008-9497(2016)02-164-04

DOI：10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.007

基金项目：安徽省高校自然科学研究重点项目(Kj2016A705);安徽省高校优秀青年人才支持计划重点项目(gxyqZD2016317). 宋明珠(1979-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-4529-6306,女，硕士，讲师，主要从事随机环境中的马氏链研究,E-mail:songmingzhu2006@126.com.

收稿日期：2015-05-18.