关于丢番图方程X2-(a2+1)Y4=35-12a的讨论

管 训 贵

(泰州学院 数学系， 江苏 泰州 225300)



关于丢番图方程X2-(a2+1)Y4=35-12a的讨论

管 训 贵

(泰州学院 数学系， 江苏 泰州 225300)

摘要：设a是正整数，证明了当a=1时，方程X2-(a2+1)Y4=35-12a仅有正整数解(X,Y)=(5,1)；当a=2时，该方程仅有正整数解(X,Y)=(4,1)和(56，5)；当a=3时，该方程仅有正整数解(X,Y)=(3,1)；当a=4时，该方程仅有正整数解(X,Y)=(2，1)和(202，7)；当a=5时，该方程仅有1组互素的正整数解(X,Y)=(1,1)；当a=6时，该方程无正整数解(X,Y)；当a≥7且12a+1为非平方数时，该方程最多有3组互素的正整数解(X,Y)；当a≥7且12a+1为平方数时，该方程最多有4组互素的正整数解(X,Y).

关键词：四次方程；虚二次域；丢番图逼近；解数；上界

GUANXungui

(Department of Mathematics, Taizhou University, Taizhou 225300, Jiangsu Province, China)

0引言

设D,k是正整数且D无平方因子，方程

X2-DY4=-k

(1)

是一类基本而又重要的4次丢番图方程，其相关结果尚不多[1-6].

文献[1]在认真研究4次域的单位数后，证明了D=2,k=1时，方程(1)仅有正整数解(X,Y)=(1,1),(239,13);文献[2]用类似的方法证明了当D=5,k=4时，方程(1)仅有正整数解(X,Y)=(1,1).

本文利用超几何函数、代数的有效逼近和Pell方程解的性质给出了一般性的结果.

定理方程

X2-(a2+1)Y4=35-12a.

(2)

(i)当a=1时，仅有正整数解(X,Y)=(5,1);

(ii)当a=2时，仅有正整数解(X,Y)=(4,1)和(56，5)；

(iii)当a=3时，仅有正整数解(X,Y)=(3,1);

(iv)当a=4时，仅有正整数解(X,Y)=(2,1)和(202，7)；

(v)当a=5时，仅有1组互素的正整数解(X,Y)=(1,1)；

(vi)当a=6时，无正整数解(X,Y)；

(vii)当a≥7时，若12a+1为非平方数，则除(X,Y)=(a-6,1)外，最多还有2组互素的正整数解(X,Y)；若12a+1为平方数，则除(X,Y)=(a-6,1)和(12a2+a+6,(12a+1)1/2)外，最多还有2组互素的正整数解(X,Y).

1超几何函数、代数数的有效逼近与若干引理

设α，β，γ为复数，且γ≠0或负整数.超几何函数F(α，β，γ)定义为复变量z的幂级数，即

令r为正整数，v为实数且满足0

Yr(z)=F(-r-v,-r,1-v,z),

Xr(z)=zrYr(z-1)，

以及

这里积分路径不过0，并且当u=0时，有

(1-u)-r-1+v=1.

且C1，f为实数，满足0

(3)

(4)

(ii)若r0=1且η-1qB4,1≠pA4,1,η=±1，则

(iii)若r0=1且η qB4,1=PA4,1,η∈{±1,±i},则

(i) um+n=umun+Dvmvn,vm+n=umvn+unvm;

引理4[8]设D≥3是整数，则方程x2-Dy4=-1最多有一组正整数解(X,Y).

引理5[9]方程x2-5y4=11仅有正整数解(X,Y)=(4，1)和(56,5).

引理7[11]设pm/qm是无理数α的连分数展开式的第m个渐近分数.若e和f是互素的非0整数且存在正实数c，使得

则(e,f)=(rpm+1±spm;rqm+1±sqm)，其中m是某些非负整数，r,s是正整数，满足rs<2c.

引理8设a≥7为整数，则方程

x2-(a2+1)y2=35-12a

的所有互素的整数解由

证明根据引理4(iii)和引理5可得.

引理9[6]设a≥7，若(X,Y)≠(a-6,1)为方程(2)的一组互素的正整数解，则

引理10设a≥7，若(X,Y)≠(a-6,1)为方程(2)的一组互素的正整数解，则有正整数x,y,g使得g2<12a-35且

(5)

(6)

证明令g=min{b1,b2}.由gcd(b1,b2)=1,b1b2=12a-35≥49知,b1≠b2,故g2<12a-35.

当g=b1时，令x=b1r,y=-s;当g=b2时，令x=b2s,y=r.于是由引理9可得

即有式(5)成立，且满足式(6).引理10得证.

若

则

引理12设a≥7.若(X,Y)为方程(2)的一组互素的正整数解，Y2=T2k±(a-6)U2k,k>1，则

(i) k=2时，Y2>4(12a+1)a2,且

T4-(a-6)U4=48a3+4a2+24a+1,

T4+(a-6)U4=16a4-48a3+12a2-24a+1;

(ii) k=3时，Y2>4(48a3+4a2+48a+3)a2,且

T6-(a-6)U4=192a5+16a4+192a3+

12a2+36a+1,

T6+(a-6)U6=64a6-192a5+80a4-192a3+

24a2-36a+1;

(iii) k=4时，Y2>8(96a5+8a4+144a3+10a2+60a+3)a2,且

T8-(a-6)U8=768a7+64a6+1152a5+80a4+

480a3+24a2+48a+1,

T8+(a-6)U8=256a8-768a7+448a6-1152a5+

240a4-480a3+40a2-48a+1;

(iv) k≥5时，Y2>3072a9.

证明由递推关系，有

T2(k+1)=(2a2+1)T2k+2a(a2+1)U2k,

U2(k+1)=2aT2k+(2a2+1)U2k.

(7)

T4=8a4+8a2+1,U4=8a3+4a.

此时结论成立.

(ii) k=3时，由式(7)可得

T6=32a6+48a4+18a2+1,U6=32a5+32a3+6a.

此时结论成立.

k=4和k≥5时，由式(7)同理可证得结论成立.根据引理10和引理11，类似文献[6]中引理3.9和引理3.11的证明方法，可得下述引理13和引理14.

引理13设a≥7，若(Xj,Yj),Yj>1(j=1,2,3)为方程(2)的3组互素的正整数解，则存在j1,j2∈{1,2,3}使得

引理14若(Xj,Yj)(j=1,2,3)为方程(2)满足

的3组互素的正整数解，则存在2组互素的正整数解，不妨设为(X1,Y1),(X2,Y2),Y2>Y1,使得η1/η2=±1,且

其中当kj=2时，a≥10;kj≥3时，a≥4.

2定理的证明

(i)当a=1时，方程(2)成为

X2-2Y4=23.

(8)

首先考虑方程

a2-2b2=23.

(9)

根据引理2，方程(9)的一般解可由以下2个非结合类给出：

或

若方程(8)有整数解，必存在n使得Y2=±(un+5vn)或Y2=±(un-5vn)=±(u-n+5v-n).

当n≥0时，un+5vn>0;当n<0时，un+5vn<0.因此可归结为

Y2=un+5vn,n≥0

(10)

或

Y2=-un+5vn,n>0.

(11)

由引理3可得下列关系：

un+2=6un+1-un,u0=1,u1=3;

(12)

un+2=6vn+1-vn,v0=0,v1=2;

(13)

v2x=2unvn;

(14)

un+2km≡(-1)kun(modum),

vn+2km≡(-1)kvn(modum).

(15)

对式(11)～(13)模8得剩余序列周期为4，且当n≡0,1,2,3(mod4)时，-un+5vn≡7,7,3,3(mod8)均为模8的平方非剩余，故式(11)不成立.

对式(10)～(13)模8得剩余序列周期为4，且当n≡1,2(mod4)时，un+5vn≡5,5(mod8)为模8的平方非剩余，故排除，剩n≡0,3(mod4).

对式(10)～(13)模3得剩余序列周期为4，且当n≡3(mod4)时，un+5vn≡2(mod3)为模3的平方非剩余，故排除，剩n≡0(mod4).

若n≠0，可设n=2s(2k+1),s≥2,则由式(10)，(14)和(15)可知

Y2≡±(u2s+5v2s)(modu2s)≡

±5v2s(modu2s).

(16)

考虑到u2k≡1(mod8)，令2t‖v2k,由式(16)可得

即

(17)

由于un模5的剩余序列周期为6，2S模6的剩余序列周期为2，故s=2,3.此时u2s≡2,2(mod5)为模5的平方非剩余.这说明式(17)不可能成立.因此n=0,可得方程(8)仅有正整数解(X,Y)=(5,1).

(ii)当a=2时，方程(2)成为

X2-5Y4=11.

(18)

由文献[6]知，方程(18)仅有正整数解(X,Y)=(4,1)和(56，5).

(iii)当a=3时，方程(2)成为

X2-10Y4=-1.

(19)

根据引理4，方程(19)仅有正整数解(X,Y)=(3,1).

(iv)当a=4时，方程(2)成为

X2-17Y4=-13.

(20)

仿(i)可证明方程(20)仅有正整数解(X,Y)=(2,1)和(202，7).

(v)当a=5时，方程(2)成为

X2-26Y4=-25.

(21)

仿(i)可证明方程(21)仅有1组互素的正整数解(X,Y)=(1,1).

(vi)当a=6时，方程(2)成为

X2-37Y4=-37.

(22)

(vii)当a≥7时，假定(Xj,Yj)(j=1,2,3)为方程(2)3组互素的正整数解，满足

由Y1(ω)=F(-5/4,-1,3/4,ω)=1+5ω/3,X1(ω)=ωY1(ω-1)=ω+5/3,△4,1=3和N4,1=8，知

的正整数.以下分3种情形讨论.

因此,

由引理13知

故

情形2r0=1,ηqB4,1=pA4,1以及η∈{±1,±i}.此时

令gcd(X1,12a-35)=l,由gcd(X1,Y1)=1知

l|(a2+1),故l|12(a2+1)-a(12a-35)=35a+12,从而l|12(35a+12)-35(12a-35)=1 369.因此可推得

(23)

由式(23)及引理10可得

(24)

又由引理1(iii)，知

于是，

(25)

由g1g2<12a-35,并结合式(24)和(25)得

当a≥86时，与引理12矛盾.7≤a≤85的情况将在后面一并讨论.

情形3r0>1.由r0的定义知,ω2|qf|≥1,故

(26)

(27)

根据引理14，结合式(27)和g1g2<12a-35,可得

(28)

若k≥5，则由a≥7知Y2>2 529 924 096a2，与式(28)矛盾，于是k=2或3或4.

若k=4,7≤a≤10，则可分别算出：T8-(a-6)U8=109·6 052 573,857·1 943 657，109·5431·6 379,18 731·419 651;T8+(a-6)U8=5·601·291 869,7·11·35 906 309,107·1 733·40 543,199·91 732 279.它们皆非平方数，故a≥11.此时Y2>126 172 488a2,亦与式(28)矛盾，于是k=2或3.

若k=3,7≤a≤86,则由Maple9.5计算可知，T6±(a-6)U6皆非平方数，故a≥87.此时Y2>126 570 396a2,仍与式(28)矛盾.于是k=2.

若k=2,7≤a≤2 603 192,则由Maple9.5计算可知，T4±(a-6)U4皆非平方数，故a≥2 603 193.此时Y2>124 953 268a2,同样与式(28)矛盾.

最后，讨论k=1的情形.

假定(X,Y)≠(a-6,1)为方程(2)的一组互素的正整数解,满足Y2=T2±(a-6)U2，则Y2=2a2+1±(a-6)·2a,故有Y2=4a2-12a+1及Y2=12a+1.前式解出a=3，与a≥7矛盾，后式对应的X=12a2+a+6.

定理得证.

注运用文中的方法还可以证明丢番图方程X2-(a2+1)Y4=k2-1-2ka在一定条件下最多只有2组互素的正整数解.限于篇幅，将另文介绍.

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DiscussionontheDiophantineequationX2-(a2+1)Y4=35-12a.JournalofZhejiangUniversity(ScienceEdition), 2016,43(2):138-143

Abstract:Let a be an positive integer. We prove that if a=1, then the equation X2-(a2+1)Y4=35-12a has only one positive integer solution (X,Y)=(5,1); If a=2, then the equation has only two positive integer solutions, (X,Y)=(4,1) and (56,5); If a=3, then the equation has only one positive integer solution (X,Y)=(3,1); If a=4, then the equation has two positive integer solutions (X,Y)=(2,1) and (202,7); If a=5, then the equation has one coprime positive integer solution (X,Y)=(1,1); If a=6, then the equation has no positive integer solution (X,Y); If a≥7 and 12a+1 is a nonsquare positive integer, the equation has at most three coprime positive integer solutions; While if a≥7 and 12a+1 is a square, the equation has at most four coprime positive integer solutions.

Key Words:quartic equations; imaginary quadratic fields; Diophantine approximations; number of positive integer solutions; upper bound

中图分类号：O 156.7

文献标志码：A

文章编号：1008-9497(2016)02-138-06

DOI:10.3785/j.issn.1008-9497.2016.02.003

作者简介：管训贵(1963-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0001-7612-2635,男，本科，教授，主要从事数论研究，E-mail:tzszgxg@126.com.

基金项目：江苏省教育科学“十二五”规划项目(D201301083)；云南省教育厅科研项目(2014Y462)；泰州学院教授基金项目(TZXY2015JBJJ002).

收稿日期：2015-06-01.