探究导数解决不等式问题3类型

◇ 江西 严亚军

(作者单位：江西省赣州市南康区唐江中学)



探究导数解决不等式问题3类型

◇ 江西 严亚军

导数应用问题是每年高考的必考内容,但在高考中为了体现以考查能力立意的命题思想,导数的相关综合题目通常都以其他数学分支如数列、不等式等为背景命制,以加强学生“转化与化归”“数形结合”“分类讨论”等数学思想的应用能力,尤其是不等式问题,难度较大,属中、高档题.归纳起来常见的命题角度有: 1)证明不等式; 2)不等式恒成立问题; 3)存在型不等式成立问题.

下面从不同角度举例说明．

1 证明不等式

(1)求函数f(x)的最大值;

g(x)<1.

当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的最大值为f(0)=0.

(2)证明:由(1)知,当x>0时,f(x)<0,g(x)<0<1.

当-1x.

设h(x)=f(x)-x,则h′(x)=-xex-1.

由-1h(0)=0,即g(x)<1.

综上,总有g(x)<1.

2 不等式恒成立问题

设h(x)=2lnx+x+3/x(x>0),则

当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;

当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增. 所以hmin(x)=h(1)=4.对∀x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,所以a≤hmin(x)=4.即实数a的取值范围是(-∞,4].

3 存在型不等式成立问题

总之,导数在不等式问题中的应用问题解题策略主要有:

1) 利用导数证明不等式.

若证明f(x)

2) 利用导数解决不等式的恒成立或存在性问题.

利用导数研究不等式恒成立或存在性问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量后构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.

(作者单位：江西省赣州市南康区唐江中学)