浅谈复合函数的求导运算

2016-05-01张菊

求知导刊 2016年10期

关键词：导数变量

张菊

摘要：分析多个复合函数的复合过程用对应法则分析方法，能快速且准确地分析出多个复合函数的复合过程，从而准确求导。这种找对应法则的分析方法对大学生学习高等数学相关内容能起到相当重要的作用，使教师取得令人满意的教学效果。

关键词：复合函数；复合过程；对应法则；变量；导数

中图分类号：013 文献标识码：B 收稿日期：2016-01-05

一、复合函数的定义

高等数学教材对复合函数是这样定义的：设y=f （u），其中u=φ（x），且φ（x）的值域全部或部分落在f（u）的定义域内，则称y=f [φ（x）]为x的复合函数，u称为中间变量。对于复合函数复合过程的分析，分析只有一个中间变量的复合函数很简单，难度大的是如何正确分析有多个中间变量的多重复合函数的复合过程。对于多重复合函数的复合过程的分析，关键要准确找出多重复合函数的中间变量的包含关系，关于这一点，教材中没有给出明确具体的分析思路，不少学生上完这节内容，脑子里还是模模糊糊的，似懂非懂，不能完全理解。实际上，复合函数的复合过程有其内在的规律，即其自变量、因变量和中间变量之间互相牵制、相互制约，并呈相互依赖关系。了解了复合函数中各变量之间的这种特点，正确分析复合函数的复合过程就变得轻而易举。以下通过分析复合函数各变量之间的依赖制约关系，来探讨复合函数复合过程的分析方法。

二、复合函数的分解过程

复合函数始终是由多个基本初等函数构成，如函数的“三要素”（定义域、值域、对应法则）。我们知道，只要准确找出复合函数中的对应法则，准确分析复合函数的复合关系是很容易的。分析复合函数复合关系的一般方法是：从外向里，找准最外面的基本初等函数的对应法则，一层一层向里推进，直至找到自变量的基本函数的对应法则为止。例如：y=tan2（1+2x2），可以先转化成y=[tan（1+2x2）]2，最外层的应该是幂函数的平方，即可设为y=u2，u=tan（1+2x2），对于u=tan（1+2x2），最外层的应该是三角函数中的正切函数，即可设为u=tanφ，φ=1+2x2，此时φ表示的函数是x的基本初等函数，到此分析完成。从以上分解过程来看，这个复合函数分解如下。