高中数学概念教学的实际案例分析

课题：§3 弧度制

教材分析

在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要。现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、克、斤、吨等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位进行度量。

通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的。通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式。进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、互相联系、相互转化的观点。

三维目标

1、通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制。

2、通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。

教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算。

教学难点：弧度的概念及其与角度的关系

授课地点：高一年级某班

教学过程：

一、课题引入：

1、我们现在要度量一位同学的身高，可以有哪些度量单位？

1米=10分米=100厘米=1000毫米

2、买一个西瓜，要称其重量，常用的有哪些不同的重量单位：1千克=1000克=2斤

我们可以看到：同一个长度，同一个重量，可以用不同的单位来度量；只是单位不同，度量的结果不同；但是各单位之间可以互化。

大家都学过30o角，请大家在数轴上将30o角表示出来？（产生认知冲突，引入新知）

3、那么，对于一个叫，除了用“度”去度量之外，还有没有其他的度量单位？

二、复习：初中学过的 角是怎么定义的？周角的 作为一个单位，称为1度的角。

三、讲授新课：

1、初中学过的弧长公式： （ 为已知圆的半径， 为角度数）

由这个公式可以看到：在一个给定半径的圆中，弧长和圆心角是一一对应的。

2、现在改变圆的半径，此时，除了半径之外，还有哪些量变了？（如右图）弧长

3、设大圆半径为R，小圆半径为r；

圆心角 所对的大圆圆弧为 ，小圆圆弧为 ，则：

由此可以看出：当半径不同时，同样大小的圆心角所对的弧长与半径之比不变。既然如此，我们就可以用弧长与半径的比值来定义圆心角的弧度数。

4、1弧度角的定义：

规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为 ；读作：1弧度。

说明：一个角的弧度数由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。

5、弧度制与角度制的大小关系：

（当弧长是 时，它所对的圆心角的弧度数是多少，关心的是弧长 中含有几个半径，弧度数就是几。）

对应于一个周角来说：

6、弧度的应用：

（1）任一正角的弧度数都是一个正数

（2）任一负角的弧度数都是一个负数

（3）零角的弧度是0

由此一来，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系“每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应；值得注意的是：注意单位的统一一致。

7、由于弧度数有正负，所以： ，即：

四、讲解例题：

例1：将下列角度制与弧度制互化：

例2：计算：

例3：已知扇形弧长为 ，半径为 ，求扇形面积。

本节课是一节概念教学课，向学生介绍弧度制这个概念。对于学生而言，这是一个全新的知识。对于角来说，我们有角度制这个度量单位，那么又为什么要引入弧度制呢？那弧度制又是怎么定义的呢？需要注意哪些问题呢？怎么应用呢？在这一些列的问题之下，形成了本节课的教学主线。

数学概念对于数学教学来说是必不可少的一部分，它既是数学思维的细胞，是形成数学知识体系的基本要素，是数学基础知识的核心，更是大部分教师所重视的解题的基础。不同层次的学生都需要通过概念课来进入更高层次的学习。多采用启发式教学，循序渐进地引导学生完成对数学概念的建构，为学好数学打好坚实的基础。