集合思想在中职数学中的应用

初中数学课本中出现过一些数和点的集合，如：自然数的集合、有理数的集合、不等式解的集合等，但学生并不清楚“集合”在数学中的含义，只是对集合有了初步的印象。事实上，研究集合的数学理论在现代数学中被称为集合论，在数学中占据着独特的地位，其基本概念已经渗透到数学的所有领域。如果把现代数学比做一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。“集合”是中职数学中接触最早的数学概念之一，笔者作为一名中职数学教师现就集合思想在中职数学中的几点应用与大家分享一下。

一、集合中蕴涵着数学史

数学史是学生学习兴趣的源泉，课堂上我们可以利用它来引起学生的好奇心和求知欲。比如在讲集合时，首先就给学生介绍康托尔的生平和成就。集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的，1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念，他对集合的描述是：把若干确定的、有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素，集合论提出来伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈争论的牺牲品，然而，二十余年后集合论最终获得了世界的公认。他在研究无穷时提出了一些合乎逻辑但又荒谬的结论，致使许多大数学家唯恐陷进去而退避三舍。但是不到三十岁的康托尔勇敢的向神秘的“无穷”宣战，他付出了艰辛的劳动，成功的证明了一条直线上的点能和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看来，一厘米长的线段内的点与太平洋上的点以及整个地球内部的点“一样多”。随后，康托尔针对无穷集合发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多令人吃惊的结论……在这短短的几分钟，大大激发了学生的学习兴趣，提高了学习集合知识的积极性，学生迫不及待地想知道究竟什么是集合，什么是无穷美……同时还可以让学生来讨论，你从康托尔身上得到了什么启示，如果是你处在那样的环境中，你也会坚持下来吗？让学生充分思考，尽量都发言，培养他们的语言表达能力和与人交流沟通的能力，起立发言的同时也培养了他们的自信心以及获得同学们掌声后体验到了学习的成就感。

二、集合思想的应用

1、分类讨论思想

集合就是把人们直观的或思维中的某些确定的、容易区分的对象放在一起，成为命题中的构成要素，作为考虑问题的整体。组成一集合的构成要素称为这一集合的元素。集合与元素是“属于”与“不属于”的关系。数学中有很多问题中含有参数，为了解决问题，必须对参数进行讨论，从而产生了分类讨论的问题，比如，

（1）我们在后面讲分段函数时，设

求 的值时，我们会用到元素-2，0，1.5，3它们分别属于 的哪个定义域区间，再按不同区间上的函数关系式来算函数值。

（2）在总结求函数定义域时，我们首先要看所给的函数是属于哪种类型的函数，再分类讨论。

（3）在利用指数函数和幂函数的性质比较两个幂值大小的时候，我们也要用到分类讨论的思想。首先根据指数函数和幂函数的定义来判断是哪种类型的函数，再分别利用对应的性质来再分类最后再比较。比如比较 和 的大小时，第一步：观察发现这两个数底数相同而指数不同，即底数不变指数变，引导学生考虑指数函数；第二步，观察底数 ，判断函数为减函数；第三步，判断-2和-3的大小；第四步，根据减函数的定义判断大小。

2、数形结合思想

在现实世界中，形与数是不可分离的结合在一起的。抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形可以做到直观化、形象化、简单化。同时复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解题中借助数轴来完成无限数集之间的运算，在平面直角坐标系中解决点集之间的运算，若借助简单的韦恩图表示两集合间的关系，可使问题变得直观、具体，易于认清集合的特征，便于准确、快速地解决问题。

3、交集和并集思想

用集合的交集和并集语言可以表示出函数的定义域、值域、方程与不等式的解集，曲线上点的集合等。 集合中的交集思想可为后面求两图像的交点做预备。

4、子集和补集思想

在求不等式以及不等式组的解集时，最常用的就是集合中的子集和补集思想。例不等式组有几种常见的解集：口诀是同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小为无处找。不就是综合运用了交集、并集、子集思想吗？

有些需要分类讨论的问题，解题过程往往过于繁杂，此时运用补集的思想（即“正难则反”思想）去解答，常常可以简化讨论。

日本数学教育家米山固藏曾说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在学校里接受的数学知识。因毕业后进人社会没有机会应用而很快忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作。唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法和着眼点，都随时随地发生作用，使他们受益终生。”作为数学教育工作者，我们要我们应该积极努力地在培养学生的数学思维方式以及数学应用意识和能力上进行实践和探索，争取为社会培养出更多的应用型的实用人才。

（作者单位：山西交通高级技工学校）