简易逻辑不简易

高中新教材开设了简易逻辑基础知识，这对于增强学生的逻辑思维能力，增强学生的辩论水平是大有裨益的。然而教参中明确地说明只学一些基本的逻辑知识，要求不高，从而导致学生乃至一些教师，对一些较为复杂的逻辑问题总是搞不清，错误常常见诸于作业与报端。

有人说“可以被5整除的数，末位是0”不是命题，主要理由是：若“可以被5整除的数，末位是0”是命题，如果是假命题，那么它的非：“可以被5整除的数，末位不是0”，也是假命题。这与逻辑上“p与非p的真值表”矛盾。

我认为这种说法是错误的。毋庸置疑：“p真，非p一定假；p假，非p一定真”。问题出在哪呢？实际上，命题“可以被5整除的数，末位是0”的非不是命题“可以被5整除的数，末位不是0”。那它的非是什么呢？这要分析原命题的内涵，以及日常生活中的语言的理解。常常有“都是”、“全是”，在日常语言中却变成了“是”；“都不是”、“全不是”等同于“不是”。此题就是如此。

“可以被5整除的数”描述的是一个集合，这个集合是{5，10，15，20，……}。原命题就相当于“{5，10，15，20，……}中的元素末位是0”，这实质上是说“{5，10，15，20，……}中的元素的末位都是0”或者说“对于集合{5，10，15，20，……}中的任意一个元素，它的末位是0”。显然，这里的“是”等同于“都是”。对于“都是”的非应该是“不都是”。因此，命题“{5，10，15，20，……}中的元素的末位都是0”的非是“{5，10，15，20，……}中的元素的末位不都是0”或者说是“在集合{5，10，15，20，……}中存在元素，它的末位不是0”。即“可以被5整除的数，末位是0”的非是“可以被5整除的数，末位不都是0”。这样就与“p假非p一定真”不矛盾了。

由此，我想到①有必要分清这样的两类命题：命题的条件描述的对象是多元素集的命题与命题的条件描述的对象是单元素集的命题；②有必要澄清描述的对象是多元素集的命题的非的写法。

命题的条件描述的对象是单元素集的命题，如：“5是质数”、“ 不是有理数”等等，这类命题的非很容易写。“5是质数”的非是“5不是质数”。“ 不是有理数”的非是“ 是有理数”。我想教参的要求应该是学生会写这一类命题的非及理解这类命题的“p真非p一定假；p假非p一定真”了。

命题的条件描述的对象是多元素集的命题，写这类命题的非就不能太简单了。如果这类命题直接以复合命题的形式出现还比较容易解决，例如“p且q”的非是“非p或非q”；“p或q”的非是“非p且非q”。

但有些命题表面上看来象简单命题，实质上要把它当成复合命题来对待。多使用“不全是”、“不都是”、“对于任意的…都不…”、“存在……”等等，它们是全称命题。如：“相似的三角形的面积相等”、“偶数不能被3整除”、“菱形不是正方形”等等。

“相似的三角形的面积相等”，这个命题的条件“相似的三角形”——可以是面积相等的两个相似的三角形，也可以是面积不相等的两个相似三角形。原命题就相当于“任何与这个三角形相似的三角形，其面积都与这个三角形的面积相等”。因此这个命题的条件描述的对象是一个无穷集。“相似的三角形的面积相等”的非应该是“存在相似的三角形的面积不相等”。这样P假，非P一定真了。

“偶数不能被3整除”，这个命题的条件“偶数”不是某一特定的偶数，如“6不能被3整除”或“8不能被3整除”，而是一个无穷数集——{偶数}，原命题就相当于“所有的偶数都不能被3整除”。因此“偶数不能被3整除”的非应该是“存在偶数能被3整除”，而不是“偶数能被3整除”了。

“菱形不是正方形”，这个命题的条件“菱形”不是一个特指的菱形，而是指一个“菱形”的集合，是一个无穷集，因此，“菱形不是正方形”的非应该是“存在是正方形的菱形”，而不是“菱形是正方形”了。

还有人说“方程 的解是 或 ”不是复合命题，理由是“方程 的解是 或 ”如果是复合命题的话，则此命题是由两个子命题复合而成，即“方程 的解是 或 ”等价于“方程 的解是 ”或“方程 的解是 ”。因为“方程 的解是 ”是假命题，“方程 的解是 ”也是假命题，而“方程 的解是 或 ”却是真命题，这与p真q真，则p或q亦真矛盾。

这种说法是错误的，“方程 的解是 或 ”是一个复合命题，不过它不是我们一般意义上的“p或q”型合题。“或”型命题有两种：一种是“可兼或”，这种命题只要p或q有一个是真，则“p或q”为真；p、q同时为真，“p或q”也真。这就是我们一般意义上的“或”型命题；另一种是“不可兼或”，亦即p、q不可能同时为真，或说p、q不能兼容。本题就是如此，“方程 的解是 或 ”是一个复合命题，它是不可兼或型命题。

（作者单位：江西省修水县职业中专）