探究考研数学中Taylor公式的极限计算技巧

1、引言

Taylor公式是微积分中的重要理论，也是求解微积分问题的重要工具. 可是我们在微积分教学中往往只粗略介绍Taylor公式和麦克劳林公式，对其在解题中的应用讲解很少. 实际上，Taylor公式在求极限、求积分、求高阶导数的值、判定级数敛散性、证明不等式或恒等式、解微分方程等方面都有应用价值.

对于极限计算的技巧，我们常用的方法是等价无穷小的替换和洛必达法则. 但是等价无穷小的替换在加减法替换时有诸多限制，而洛必达法则也经常因多次求导的导数过于复杂，而无法继续降阶. 此时，我们可以选用Taylor公式来计算极限，同时也很大程度上降低了运算的复杂度.

2、预备知识

3、利用Taylor公式计算极限

在利用Taylor公式计算极限时，首先应确定Taylor展开的阶数. 如果分母（或分子）是 阶，那么只需将分子（或分母）展开成 阶麦克劳林公式.如果分子、分母都需要展开，那么将它们展开到同阶无穷小的阶数. 其次，我们也经常使用泰勒公式与等价无穷小替换相结合的方式，来尽可能的简化极限，直至多项式之比的极限，便可容易的计算出结果.

4、结束语

在利用Taylor公式求极限时，我们在熟记常见的Taylor公式展开的基础上，要针对具体问题进行灵活运用. 具体问题具体分析，不要形成定势思维，要积极拓展自己的思维方式，融入如Taylor公式般灵活多变的解题方式.

巧妙利用Taylor公式进行极限计算，可以简便快捷的解决复杂的极限问题. 在考研教学以及日常微积分教学中，渗透Taylor公式的应用思想不仅可以提高教师的教学水平，而且可以扩宽学生解题思路，提升学生独立解决问题的能力，这对学习和教学都有很大裨益.

（作者单位：四川大学锦江学院）