解直线与椭圆综合问题通法探究



解直线与椭圆综合问题通法探究

◇山东李传文

高考对圆锥曲线问题的考查常以直线与椭圆位置关系为背景,主要涉及弦长问题、夹角问题、三角形面积问题等,其中所涉及的解题思路主要是借助代数方法来解决几何问题．本文以2015年山东高考为例,就其中所涉及的解题通法进行探究．

(1) 求椭圆C的方程.

(2) 设椭圆E:x2/4a2+y2/4b2=1.P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A、B2点,射线PO交椭圆E于点Q.求:

第(1)问属于基础题,主要利用椭圆的几何性质,即可得出椭圆方程,但第(2)问都是以第(1)问所得的椭圆方程为背景的,因此要注意计算的准确性．

解(1) 椭圆C方程为x2/4+y2=1.

解析几何的重要特征是用“坐标法”来实现的.如直线与椭圆有2个交点,通常设2点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),弦长问题可借助两点间距离公式,夹角问题可借助平面向量数量积坐标公式,特别是当夹角为直角时,两向量数量积为0等．涉及多个点时,要注意点与点之间的关系,尽量减少变量的引入．

(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2/16+y2/4=1.

将直线与椭圆方程联立所得一元二次方程的2个解,即为直线与椭圆2交点的横坐标.在条件不确定的情况下,为确保直线与椭圆相交,需要Δ≥0,因此“代入消元法”“判别式法”是解决此类问题必不可少的．在此基础上根据“根与系数的关系”得出x1+x2、x1x2与参数之间的关系,为后续解答奠定了基础．

(ⅱ) 将y=kx+m代入椭圆C的方程,消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0,解得m2≤1+4k2.将y=kx+m代入椭圆E的方程,消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0,解得m2<4+16k2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有

对于三角形面积问题的处理可采用直接法,即利用弦长公式求出三角形的底边长,利用点到直线的距离求出三角形的高．也可利用分割法,即将所求三角形分割成2个同底的三角形面积之和来求解,其中将三角形的高为|x1+x2|或|y1-y2|与“根与系数的关系”建立联系．

因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积

对于动态几何要素问题,常通过求函数最值来求解．为了呈现几何要素的动态特征,我们往往借助变量实现,而不同几何要素之间的关系,自然就表现为2个变量或多个变量之间的函数关系,几何要素度量值(长度、面积、斜率、角度等)或几何要素的位置或形态的最值状态,也自然对应于函数的最值状态,因此函数通常作为研究最值问题的工具方法.

构造出目标函数后,相应的最值问题就转化为函数最值问题,再利用“二次函数配方法”“均值不等式法”“分离常数法”“三角换元法”等方法求解．

总之,高考命题常考常新,针对不同的题目所涉及的通法可能不尽相同,但只要我们注重分析、不断归纳总结,及时发现不同知识模块之间的关联,即可发现命题规律,以不变应万变．

(作者单位：山东省菏泽市巨野县巨野一中)