地震资料空间分辨率计算及理论分析

李伟波,李培明,睢永平

(中国石油集团东方地球物理勘探有限责任公司,河北涿州072751)



地震资料空间分辨率计算及理论分析

李伟波,李培明,睢永平

(中国石油集团东方地球物理勘探有限责任公司,河北涿州072751)

摘要:分辨率的概念从时间域扩展到空间域,产生了横向分辨率、水平分辨率、纵向(垂向)分辨率、法向分辨率、方向空间分辨率等多个概念。从叠前偏移的成像椭圆出发,利用几何方法推导了均匀介质假设条件下共炮检距道集中分辨率的精确表达式,理清了各分辨率概念的内在联系。进一步通过理论计算讨论了横向分辨率随炮检距、观测点位置及深度的变化特点,对比分析了3种横向分辨率计算式的差异性。研究结果表明,前人近似横向分辨率计算公式容易高估地震资料的实际分辨能力。对于确定的炮检距和观测点位置,横向分辨率随观测点埋深呈非线性变化。当埋深约为0.7倍炮检距时,通常可获得最大横向分辨率。

关键词：空间分辨率;横向分辨率;纵向分辨率;共炮检距

地震勘探中我们常使用纵向分辨率与横向分辨率的概念。纵向分辨率是沿铅垂方向,描述对地下薄层的分辨能力;横向分辨率则是沿水平方向,刻画对地下异常体横向空间展布的分辨能力。这方面内容在很多文献中都进行了充分的讨论[1-20],并给出了明确的定义。马在田[9]根据散射点成像原理严格按照Ricker关于地震最小可分辨距离的定义,提出了广义空间分辨率的概念,并给出了观测地震道的分辨率公式,定量研究了其随空间变化的行为特征,但其分辨率公式比较复杂,直观物理意义并不明显。云美厚等[13-16]对地震分辨率的定义、极限准则、公式进行了归纳总结和对比分析,并将横向分辨率和纵向分辨率扩展到空间任意方向。钱荣钧[17]从瑞雷准则的基本原理出发,详细介绍了分辨率的分类,并对各种分辨率概念进行了澄清,给出了二维非零偏移距的横向分辨率公式。李培明等[18]推导出了二维与三维共偏移距道集的空间分辨率公式,较系统地讨论了共偏移距道集的横向分辨率和纵向分辨率与地下介质速度、地震主频及频带、反射界面倾角、偏移孔径以及所使用的观测系统等因素的关系。

迄今为止,有关分辨率概念及定义的讨论仍在继续,不同分辨率之间到底存在什么样的关系,不同估算方法在推导过程中的近似引入的误差有多大,能否被设计人员所接受？为了便于区分不同分辨率的定义,本文重新梳理了以往文献中出现的各种分辨率定义,并以图示的方式加以展示。同时,为了理清各种分辨率概念的内在联系和区别,摒弃了传统的分辨率解析表达形式,代之以方程组的形式来进行定量描述。

1分辨率定义

偏移前,地震道的横向分辨率通常用第一菲涅尔带来衡量。图1中,过点P的假想波前面是以自激自收点O为中心、半径为Z0的内圆。过AB的假想波前面构成了外圆,两者的单程传播路径长度之差刚好为λ/4(往返路径差为λ/2)。菲涅尔带半径即横向分辨率数值上等于点P到外圆的水平线段PA的长度。

图1　零炮检距记录的横向分辨率示意图解

受此启发,假设二维均匀介质情况,则非零炮检距的假想波前面是以炮点S和检波点R为焦点的内椭圆(图2),则炮点S到观测点P再到检波点R的传播距离D可以写为：

图2　非零炮检距记录的分辨率示意图解

(1)

公式(1)是常见的双均方根方程,通过它可以得到其椭圆方程：

(2)

其中,

(3)

(4)

同理,可写出与内椭圆传播路径长度相差λ/2的外椭圆方程,有：

(5)

其中,

(6)

(7)

式中:λ为地震优势波长;h为半炮检距。

图2中,P是观测点,PA连线与内椭圆相切,PB连线正交于内椭圆,PA与PB相互垂直,PC连线水平向右,PD连线垂直向下,PE连线与垂直方向的夹角为β,点A,B,C,D,E分别为连线与外椭圆的交点。

在地震勘探中,按照研究方向的不同,一般将分辨率概念细分为垂直分辨率、水平分辨率以及纵向(垂向)分辨率和横向分辨率。在地震波垂直向下入射时,沿铅垂方向的分辨率称为垂直分辨率,相应水平方向的分辨率称为水平分辨率。当地震波以一定角度入射到介质中时,其沿着射线方向的分辨率称为纵向分辨率或垂向分辨率,而与射线方向垂直的分辨率称为横向分辨率[12]。从其定义可以看出,横向和纵向分辨率分别对应图2中的PA,PB。水平和垂直分辨率分别对应了图2中的PC,PD。近几年提出的方向空间分辨率,强调可以沿任意方向计算分辨率大小,实际上是图2中的PE。由此可见,不同分辨率的定义都采用了路程差去衡量分辨能力,所不同的是,在从观测点到外椭圆的距离测量上使用了不同的衡量标准而已。

2分辨率计算公式

图2中,假设P点的坐标为(x0,z0),则过P点的直线方程可写为:

(8)

将(8)式代入方程(5),可以得到关于x的一元二次方程：

(9)

求解(9)式,可以得到直线与外椭圆的交点坐标。交点到P点的距离,即为分辨率的量值,具体表达式(限于篇幅,推导从略)为：

(10)

对于方向空间分辨率,图2中PE与垂直方向的夹角为β,其斜率k=-cotβ,代入(10)式,得到：

(11a)

(11b)

纵向分辨率在方向上与横向分辨率相互垂直,可根据两直线正交斜率互为负倒数的关系,有k=(z0/b2)/(x0/a2),代入(10)式,得到：

(11c)

令斜率为0,即k=0,代入(10)式,得到水平分辨率表达式：

(11d)

同理,令斜率为无穷大,即k=∞,代入(10)式,得到垂直分辨率表达式：

(11e)

进一步,令x0=0,h=0,代入(11d)式和(11e)式可得：

(12a)

(12b)

显然,(12a)式、(12b)式与自激自收情形下给出的水平分辨率和垂直分辨率表达式[14,16]完全一致。这至少可以从一个侧面反映出本文公式的合理性。

3分辨率影响因素分析

钱荣钧[17]给出的横向分辨率公式为：

(13)

式中：d为炮点的法向深度;θ为地层倾角;h为半炮检距。

马在田[9]给出的空间分辨率公式为：

(14)

式中：x为观测点位置;z为观测点深度;β为地层与垂向的夹角;h为半炮检距。

假定地震子波与炮检距无关,即地震波长λ不变,令λ=50m。下面依据3种分辨率计算公式,对比分析横向分辨率随半炮检距、观测点水平位置、观测点深度的变化情况,明确3种公式计算结果的差异性。

3.1横向分辨率随半炮检距的变化

取深度z0=1000m,观测位置x0=0。图3显示了基于不同分辨率公式得到的横向分辨率随半炮检距变化的关系曲线,半炮检距计算范围为0～3000m。从图3中可以看出,横向分辨率随半炮检距的增大而降低。由于观测点位置选在炮检中点下方,此时,(13)式与(14)式中倾角为0,两式完全相同,故两条曲线完全重合,且在大炮检距时误差较大,半炮检距为1500m时,相差165m。

图3　横向分辨率与半炮检距关系

3.2横向分辨率随观测点水平位置的变化

取深度z0=1000m,半炮检距h=1000m。图4给出了不同分辨率公式对应不同观测点的横向分辨率,观测点位置从0到5000m。从图4可以看出,横向分辨率随观测点位置呈非线性变化,且存在极小值点,但整体上来说,横向分辨率受观测位置的影响较小。另外,(13)式的估算误差相对较小。

图4　横向分辨率与观测点水平位置关系

3.3横向分辨率随观测点深度的变化

取半炮检距h=1000m,观测位置x0=0。图5展示了不同分辨率公式对应不同深度的横向分辨率。从图5可以看出,(13)式与(14)式计算结果完全重合,且随观测点深度增加,分辨率值近似线性增大;而基于本文精确公式得到的分辨率值则随深度增加呈现非线性变化,曲线存在极小值。经理论推导(见附录A)发现,极小点位于观测点深度为0.7倍炮检距处。换言之,当炮检距一定,在炮检中点正下方,观测点埋深约为0.7倍炮检距处可获得最佳横向分辨能力。附录中公式(A6a)表明,半炮检距约为深度的0.7倍,即炮检距为1.4倍深度时,横向分辨能力达到最佳。

图5　横向分辨率与观测点深度关系

4结论

1) 利用双均方根方程的几何意义,从双椭圆的传播路径差出发,得到空间分辨率的精确表达式,可以精确计算沿任意方向的分辨率大小。

2) 在小炮检距情形下,前人给出的空间分辨率近似表达式与本文精确表达式估算结果基本一致,随炮检距增大,二者偏差增大。利用前人近似表达式容易高估地震资料的实际空间分辨能力。

3) 当观测点恰好在炮检中点正下方时,对于确定的观测点埋深,横向分辨率随炮检距增加而增大;对于确定的炮检距,横向分辨率随观测点埋深呈非线性变化。当埋深约为0.7倍炮检距时,通常可获得最大横向分辨率;当炮检距和观测点埋深一定时,横向分辨率随观测点位置呈非线性变化,同样存在极小值点。

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附录A横向分辨率极值坐标的公式推导

为了找到最高横向分辨率所对应的深度,作如下推导。从图2可知,当观测位置位于炮检中点下方,即x0= 0时,此时PA的斜率k≡0,整理(10)式,得到：

(A1)

当λ≪h时,忽略λ项,(A1)式可以简化为：

(A2)

(A3)

(A4)

当y′=0时,有：

(A5)

(A6a)

(A6b)

此时,横向分辨率数值最小,分辨能力最高。

(编辑：顾石庆)

Calculation and theoretical analysis of the spatial resolution of seismic data

LI Weibo,LI Peiming,SUI Yongping

(BGP,CNPC,Zhuozhou072751,China)

Abstract:The concept of resolution extends from the time domain to the spatial domain,generates multiple concepts including lateral resolution,horizontal resolution,vertical resolution,normal resolution,directional spatial resolution and so on.By studying the imaging ellipse of prestack migration,the accurate expression of resolution on the common offset vector gather in the homogeneous medium were deduced by geometric method,which clarify the intrinsic relationships between the above mentioned concepts.We further discussed the variation features of lateral resolution along with offset,observation position and depth through theoretical calculation.And then,we analyzed and compared the differences between the three lateral resolution expressions.The research result shows that the previous approximate formula of lateral resolution will overestimate the actual resolution of seismic data easily.For a fixed offset and observation position,the lateral resolution changes nonlinearly with the buried depth of observation points.When the buried depth is about 0.7 times of the offset,we can obtain the maximum lateral resolution.

Keywords:spatial resolution,lateral resolution,vertical resolution,common offset

文章编号：1000-1441(2016)02-0173-05

DOI:10.3969/j.issn.1000-1441.2016.02.002

中图分类号：P631

文献标识码：A

基金项目：国家科技重大专项(2011ZX05019-004)资助。

作者简介：李伟波(1979—),男,硕士,高级工程师,现从事地震资料采集设计等方面的研究工作。

收稿日期：2015-07-07;改回日期：2015-11-30。

This research is financially supported by the National Science and Technology Major Project of China (Grant No.2011ZX05019-004).