高速旋转薄壁圆柱壳的行波共振特性研究

王　宇， 谷　月， 李　晖， 韩　冰(. 辽宁科技大学 机械工程与自动化学院，辽宁　鞍山　405；.辽宁科技大学 理学院，辽宁　鞍山　405；.东北大学 机械工程与自动化学院，沈阳　089)



高速旋转薄壁圆柱壳的行波共振特性研究

王宇1， 谷月2， 李晖3， 韩冰1(1. 辽宁科技大学 机械工程与自动化学院，辽宁鞍山114051；2.辽宁科技大学 理学院，辽宁鞍山114051；3.东北大学 机械工程与自动化学院，沈阳110819)

摘要：基于传递矩阵法研究了不同边界条件下高速旋转薄壁圆柱壳的行波共振特性。首先，基于Love 壳体理论，考虑离心力、科氏力和惯性力的影响，建立了旋转态薄壁圆柱壳的振动微分方程；然后，引入传递矩阵方法，根据壳体子段间的状态向量表达式，推导了结构的整体传递矩阵；最后，通过高精度的精细积分法进行求解，得到了两端简支、两端固支和固支-自由边界条件下的共振特性。算例结果表明，传递矩阵方法适合于求解高速旋转薄壁圆柱壳的行波共振特性，在三种边界条件下以周向模态的振动为主；在工作转速和1倍频激振力作用下，共振裕度小于10%的共振转速点仅有一个，而在其他倍频激振下的共振转速点不在安全裕值范围内。

关键词：高速旋转；薄壁圆柱壳；边界条件；传递矩阵法；共振特性

在汽轮机和航空发动机等动力旋转机械中广泛采用着薄壁圆柱壳结构，在服役过程中，很多振动疲劳损伤故障是由于复杂工况引起的共振造成的，对高速旋转薄壁圆柱壳构件的共振特性进行研究，判断发生共振时的转速、频率和振型之间的关系，具有重要的参考价值和工程意义。

关于旋转态圆柱壳和转子系统的振动问题，相关学者进行了许多研究，但是对于高速旋转薄壁圆柱壳共振特性的研究还比较少，目前的研究成果主要有：Ng等[1]基于Donnell壳体理论，研究了周期载荷作用时旋转圆柱壳的共振特性。Sun等[2]基于Sanders壳体理论，采用傅里叶级数展开法研究了旋转圆柱壳的振动特性。Hosseini-Hashemi等[3]采用状态空间法，求解了旋转功能梯度中厚圆柱壳的固有频率和临界转速。李健等[4]应用Donnell壳体理论和复分析法，提出了确定旋转薄壁悬臂圆柱壳共振频率及转速的方法。王海霞等[5]针对航空发动机机匣振动超限的情况，得出固有频率共振是引起发动机机匣振动超限的主要原因。曹登庆等[6]考虑鼓盘式转子中转子涡动与鼓筒间的耦合作用，分析了转子涡动对鼓筒振动特性的影响。金路等[7]以单盘对称转子为对象，研究了在临界转速点的振动和共振过程。李永强等[8]采用Flügge壳体理论，得到了圆柱壳波动共振转速的计算公式。刘彦琦等[9]基于Love壳体理论，分析了旋转圆柱壳的自由振动特性和几何参数的影响。李波波等[10]采用有限元法分析了转子系统振动的Campbell 图和临界转速等特性。孙述鹏[11]研究了转动薄壁圆柱壳的行波振动特性，分析了叶轮机械中鼓筒部件的动力学特性。康召辉等[12]通过传递矩阵法，对含轴型盘转子系统的临界转速进行了分析，并对前3阶临界转速进行了比较。田野等[13]采用有限元方法研究了整体式转子和焊接式转子的临界转速，讨论了支撑和装配方式对临界转速的影响。

基于Love壳体理论，在两端简支、两端固支和固支-自由三种边界条件下，采用传递矩阵法对高速旋转薄壁圆柱壳的振动特性进行求解，得到了在不同倍频激振作用下的共振特性，找出激振力频率与行波频率接近时发生共振的条件，并通过文献对两端简支边界条件下的共振特性进行比较。

1旋转态薄壁圆柱壳的行波共振特性

1.1旋转态薄壁圆柱壳模型

旋转态薄壁圆柱壳的模型如图1(a)所示，在柱坐标系Oxθz中，原点O为端面上的圆心，圆柱壳以角速度Ω绕x轴转动，u(x,θ,t)、v(x,θ,t)和w(x,θ,t)分别为中面上任意一点在纵向、切向和径向三个方向上的位移，L、H和R分别为薄壁圆柱壳的长度、壁厚和中面半径。

图1　旋转态薄壁圆柱壳模型Fig.1 A model of rotating thin cylindrical shell

1.2基于传递矩阵法的共振特性求解

如图1所示，将薄壁圆柱壳沿长度方向分成n0个子段，每个区段的长度分别为L1,L2,…,Li,…Ln0，基于Love壳体理论[14]，每一区段薄壁圆柱壳的振动微分方程为

(1a)

(1b)

(1c)

等效Kirchhoff面内切力Vx和横向剪力Sx为

(2a)

(2b)

中面法线绕x轴的转角θx、内力Nx和内力矩Mx的表达式为

(3a)

(3b)

(3c)

定义位移解的形式为

(4a)

(4b)

(4c)

式中，m表示轴向半波数，n表示周向波数，ωmn表示行波频率，“+”和“-”表示科氏力引起的后行波和前行波。

沿薄壁圆柱壳的纵向分为n0个子段，共n0+1个截面，任一截面上的状态向量为

(5)

在状态向量中的位移、转角、内力和内力矩表示为

(6)

对变量进行整合，得到一阶常微分方程组为

(7)

对于某一区段的两个相邻截面，从一个端面至另一个端面的传递关系为

(i=1,…,n0)

(8)

其中，相邻两个截面的传递矩阵关系为

(i=1,…,n0)

(9)

在两端简支、两端固支和固支-自由边界条件下，行波频率采用以下方法进行求解，即

(10)

令式(11)的系数行列式为零，可求得行波频率，即

det(T′)=0

(11)

(12)

(13)

当激振力频率与行波频率成如下关系时壳体将发生共振，即

ωmn=N·ωe

N=1,2,3…

(14)

式中，ωmn为行波频率，ωe为激振力频率。

可以通过Campbell图判断高速旋转的构件是否会产生共振，其中横坐标表示转速，纵坐标表示振动频率，射线表示激振频率，共振点对应的转速即为共振转速Nr，在周期性变化的激振力作用下，激振频率表达式为

ωe=K·Nw

(15)

式中：K为谐波系数，Nw为工作转速，本文取15 000 r/min。

在启动或停止等转速发生变化过程中，在工作转速附近的共振转速是比较危险的，通常用共振裕度来进行描述，其表达式为

(16)

2算例求解与分析

在两端简支、两端固支和固支-自由三种边界条件下，对高速旋转薄壁圆柱壳的共振特性进行分析，选取材料为Ti-5Al-2.5Sn合金[16]，其几何参数和材料参数分别为：长度L=0.256 m，壁厚H=0.002 5 m，中面半径R=0.16 m，杨氏模量E=1.10×1011Pa，泊松比μ=0.31，密度ρ=4 480 kg/m3。

(1) 两端简支边界条件

在转动坐标系和两端简支边界条件下，当转速在0～2×104r/min时，将传递矩阵法和文献[17]求得的行波频率值进行比较，行波频率值如表1所示，误差图如图2所示。由表1可知，采用两种方法得到的结果变化规律一致，当转速为0 r/min时，最低阶固有频率均对应(1,5)模态，随着静频值的增加，对应的模态振型均为(1,6)、(1,4)、(1,7)、(1,3)和(1,8)；当转速逐渐增加时，由于科氏力作用引起了行波频率出现分离现象，即出现了前行波频率和后行波频率，并且后行波频率大于前行波频率。由图2可知，通过两种方法得到的行波频率误差值小于6%，并且随着转速的增加误差值呈现减小趋势。

表1　两端简支边界条件下旋转薄壁圆柱壳的行波频率比较 /Hz

图2　两端简支边界条件下旋转薄壁圆柱壳的行波频率误差图Fig.2 An error chart of travelling wave frequencies for a rotating thin cylindrical shell under simply supported-simply supported boundary condition

图3　两端简支边界条件下旋转薄壁圆柱壳的Campbell图Fig.3 A Campbell chart for a rotating thin cylindrical shell under simply supported-simply supported boundary condition

对于高速旋转的薄壁圆柱壳构件，通过两种方法得到的Campbell图如图3所示。在K=1、K=2和K=3倍频激励下，与前6阶模态存在多个共振点，行波频率线与激振频率线K=2和K=3的交点均远离工作转速15 000 r/min，但是在工作转速附近容易发生共振的共振点仅有1个，即在K=1倍激振力作用下，与(1,5)阶模态形成共振，通过传递矩阵法得到的共振点频率为1 598 Hz，共振转速为15 245 r/min，与工作转速的共振裕度为1.63%，通过文献得到的共振点频率为1 615 Hz，共振转速为15 415 r/min，与工作转速的共振裕度为2.77%，即很可能引起(1,5)阶模态的振动，而在其他交点处的共振裕度均大于10%。当薄壁圆柱壳构件在共振转速下运行时很容易发生共振现象，在实际升速和降速过程中，如果只是在共振转速时短暂停留，可以避免共振造成的危害，应采取措施调整构件的固有频率或激振力频率，以保证在工作转速时有充分的裕度，减少共振现象的发生。

(2) 两端固支边界条件

对于两端固支边界条件下的旋转态薄壁圆柱壳，在转动坐标系下通过传递矩阵方法得到的Campbell图如图4所示。当转速为0 r/min时，按照静频值从小到大的顺序，前6阶模态振型依次为(1,6)、(1,5)、(1,7)、(1,4)、(1,8)和(1,3)。在K=1、K=2和K=3倍频激励下，与前6阶模态存在多个共振点，行波频率线与激振频率线K=2和K=3的交点均远离工作转速15 000 r/min，但是在工作转速附近容易发生共振的共振点仅有1个，即在K=1倍激振力作用下，与(1,3)阶模态形成共振，得到的共振点频率为1 707 Hz，共振转速为16 300 r/min，与工作转速的共振裕度为8.67%，即很可能引起(1,3)阶模态的振动，而在其它交点处的共振裕度均大于10%。

图4　两端固支边界条件下旋转薄壁圆柱壳的Campbell图Fig.4 A Campbell chart for a rotating thin cylindrical shell under clamped-clamped boundary condition

图5　固支-自由边界条件旋转薄壁圆柱壳的Campbell图Fig.5 A Campbell chart for a rotating thin cylindrical shell under clamped-free boundary condition

(3) 固支-自由边界条件

对于固支-自由边界条件下的旋转态薄壁圆柱壳，在转动坐标系下通过传递矩阵方法得到的Campbell图如图5所示。当转速为0 r/min时，按照静频值从小到大的顺序，对应的前6阶模态振型依次为(1,4)、(1,3)、(1,5)、(1,6)、(1,2)和(1,7)。在K=1、K=2和K=3倍频激励下，与前6阶模态存在多个共振点，得到的行波频率线与激振频率线K=2和K=3的交点均远离工作转速为15 000 r/min，但是在工作转速附近容易发生共振的共振点仅有1个，即在K=1倍激振力作用下，与(1,6)阶模态形成共振，得到的共振点频率为1 545 Hz，共振转速为14 750 r/min，与工作转速的共振裕度为1.67%，即很可能引起(1,6)阶模态的振动，而在其它交点处的共振裕度均大于10%。

3结论

本文基于传递矩阵方法，通过算例分析了两端简支、两端固支和固支-自由三种边界条件下高速旋转薄壁圆柱壳的共振特性，绘制了相应的Campbell图，主要结论如下：

(1) 在两端简支边界条件下，通过传递矩阵法和文献对高速旋转薄壁圆柱壳的行波频率和共振特性进行了比较，静频值的第一阶固有频率均发生在(1,5)阶模态，随着静频值增加，模态振型变化关系相一致，并且行波频率的误差值小于6%，验证了传递矩阵法的有效性，在K=1倍激振力作用下，在工作转速附近容易激起(1,5)阶模态而引起共振现象。

(2) 在三种边界条件下，在K=1、K=2和K=3倍频激振力作用时前6阶行波频率曲线与激振频率射线存在多个交点，但是在工作转速附近共振裕度小于10%的共振转速点分别只有一个，容易引起壳体的共振，应保证构件在工作转速附近有充分的裕度，防止共振现象的发生。同时，边界条件对高速旋转薄壁圆柱壳的共振特性有较大影响，不同的边界条件容易引起不同阶次模态的共振，只要共振转速不常在工作转速下工作，可以避免由于共振引起的疲劳损伤等故障。

参 考 文 献

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Travelling wave resonance characteristics of a high-speed rotating thin cylindrical shell

WANGYu1,GUYue2,LIHui3,HANBing1(1. School of Mechanical Engineering and Automation, University of Science and Technology Liaoning, Anshan 114051, China;2. School of Science, University of Science and Technology Liaoning, Anshan 114051, China;3. School of Mechanical Engineering and Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

Abstract:The traveling wave resonance characteristics of a high-speed rotating thin cylindrical shell were studied under different boundary conditions based on the transfer matrix method. Firstly, the vibration differential equations of the rotating thin cylindrical shell were set up based on Love’s shell theory considering the effects of centrifugal forces, coriolis forces and inertial forces. Secondly, with the state vector expression between sub-segments, the transfer matrix method was introduced to derive the overall transfer matrix of the structure. Finally, its resonance characteristics were solved with the high-precise integration method under simply supported-simply supported, clamped-clamped and clamped-free boundary conditions. The example’s results showed that the transfer matrix method is suitable for solving the resonance characteristics of the high-speed rotating thin cylindrical shell, and the vibration modes in circumferential direction are the main contributors to the resonance of the shell under three boundary conditions; there is only one resonance rotating speed point when the resonance margin is less than 10% under the operating rotating speed and the first octave excitation, but the resonance rotating speed points under other octave excitations are not within the safe margin range.

Key words:high-speed rotating; thin cylindrical shell; boundary conditions; transfer matrix method; resonance characteristics

中图分类号:O326; TH113.1

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.05.036

收稿日期：2015-02-02修改稿收到日期：2015-03-17

基金项目：辽宁科技大学博士科研启动基金;青年教师科研基金资助项目(2014QN13)

第一作者 王宇 男，博士，讲师，1979年10月生