悬臂梁易损部件在矩形加速度脉冲激励下的动力学响应与有限元分析

卢富德， 许晨光， 高　德， 徐　锋(浙江大学 宁波理工学院,浙江 宁波　315100)



悬臂梁易损部件在矩形加速度脉冲激励下的动力学响应与有限元分析

卢富德， 许晨光， 高德， 徐锋(浙江大学 宁波理工学院,浙江 宁波315100)

摘要：为分析悬臂梁易损部件在矩形脉冲激励下的振动响应，推导出悬臂梁在悬臂端处动态应力的近似解析解，得到最大应力与矩形脉冲峰值之间的关系，分析结果表明：在速度变化量一定时，最大应力随加速度脉冲幅值的增加而增加，但会无限逼近极限值。最后建立了易损件-质量主体在矩形脉冲激励下的有限元模型，并与解析解进行了对比，发现运用2阶振动模态即可得到精确的悬臂梁的应力响应，所取得的研究成果为具有悬臂梁式易损件在蜂窝纸板缓冲作用下的防护提供理论基础。

关键词：悬臂梁；易损件；有限元；加速度脉冲

电子产品在运输与使用过程中，跌落或振动载荷，是导致电子产品失效的主要激励形式[1]。电子产品内部的一个或多个部件，通常简化为质量-弹簧系统，理论或测试得到的易损件的加速度响应作为系统失效的强度指标[2-3]。对于电子产品的一些内部梁式易损部件，由于一个固有频率不能标准其振动行为，若仍然以加速度响应作为判断产品失效标准，会引起错误或误导[4]，这时需要深入到易损部件的应力层面来分析易损件的冲击强度[5-6]。例如，Zhou 等[7]研究了简支梁关键部件在半正弦脉冲激励作用下简支梁最大应力表达式与加速度脉冲幅、脉宽之间的关系，得到简支梁的失效机理。

泡沫作用在易损件的加速度脉冲可以用半正弦脉冲近似表达。卢富德等[8]研究了梁式易损部件在发泡聚乙烯缓冲作用的冲击响应。但对于蜂窝纸板作为缓冲材料时，由于其应力-应变曲线有一个较长的应力平台[9-11]，若重物受到冲击载荷压缩蜂窝纸板的过程，会作用于重物以近似的矩形加速度脉冲。易损件的质量远小于主体的质量，可不考虑易损件对质量主体的动力学响应影响，重物的矩形加速度脉冲响应相当于作为内部易损件的激励。鉴于此，研究矩形脉冲激励下梁式易损部件冲击响应规律，揭示此系统的缓冲机理，这对于利用蜂窝纸板保护带有梁式易损件的物品情形提供了理论基础。

1悬臂梁-质量主体-蜂窝纸板系统的动力学模型

带有悬臂梁易损件的物品在蜂窝纸板缓冲作用下的动力学模型示意图，如图1所示。物品离散为变形的易损件与不变形的质量主体。由于易损件的质量远小于主体质量，物品自由跌落并压缩蜂窝纸板的过程，易损件对质量主体的动力学响应可忽略不计。质量块在压缩蜂窝纸板过程中，蜂窝纸板对作用的加速度如图2所示，由于蜂窝纸板受压缩力学性能呈现较长的屈服平台，实际脉冲可近似为矩形脉冲。对于蜂窝纸板缓冲包装系统，获取重物的加速度响应由本构关系[9]、经验模型[10]与有限元[11]等理论方法。通过这些方法所得到的质量块的加速度响应，就成为悬臂梁易损件的激励。

图1　蜂窝纸板缓冲系统示意图Fig.1 Schematic diagram of honeycomb paperboard cushioning system

图2　质量块在蜂窝纸板作用下的加速度响应Fig.2 Acceleration response of mass for honeycomb paperboard cushioning system

因此，研究悬臂梁易损部件在矩形脉冲激励下的响应，为探求其在蜂窝纸板缓冲作用下的失效机理及防护问题成为一个需要解决的关键科学问题。

2悬臂梁-质量主体系统在矩形脉冲激励下的动力学响应求解

不考虑悬臂梁易损件对质量主体的动力学影响，对如图3所示的带有悬臂梁式易损部件产品进行力学分析，得到梁的振动方程为：

(1)

式中：E为弹性模量，I为截面惯性矩，ρ为悬臂梁的密度，A为截面面积。

对应的边界条件为：

w(0)=z;

(2)

设相对位移y=w-z，联合式(1),得到

(3)

图3　带有悬臂梁式易损件的产品示意图Fig.3 Schematic diagram of product with cantilever beam type

由分离变量法，得到式(3)的解：

(4)

式中,qn(t)为模态坐标，Yn(x)为振型函数

cosλnx-chλnx

(5)

式中,λn为特征值，满足

1+chλnlcosλnl=0

(6)

利用梁主振型的正交性，可得到一组独立的微分方程组

(7)

式中

(8)

由杜哈梅积分，得

(9)

传递给易损件的近似矩形加速度脉冲为：

(10)

把式(10)代入式(9),得到模态解

(11)

因此，悬臂梁上、下面的弯曲应力为

式中

-cosλnx-chλnx

(13)

取一阶结果，忽略高阶项，可得近似悬臂梁最大响应应力为

把矩形脉冲与自由跌落联系起来，得到脉宽与跌落高度H、矩形脉冲幅值Am的关系为：

(15)

然后对式(14)进一步整理，得到

(16)

特别地，当Am→∞，

(17)

由式 (16)和(17),并记作如下：

(18)

可得到悬臂梁的最大响应应力，与脉冲峰值Am的关系，如图4所示，从图可以看出，在跌落高度一定时，即矩形脉冲速度变化量保持不变时，悬臂梁的最大响应应力随矩形脉冲幅值的增大而增大，当幅值小于Am1,幅值σm与其成线性关系，之后为非线性关系，但此时应力存在极限值为σm2。

图4　σm-Am关系Fig.4 Relationship between response stress amplitude σm and input acceleration amplitude Am

3易损件-质量主体有限元模型

由于在推导悬臂梁的振动方程(1)的前提是梁发生小挠度，若超出这个范围，振动方程(1)已不再适用。若运用有限元方法求解梁在加速度脉冲激励下的动力学响应则没有这个限制，这是由于有限元可以考虑模型的几何非线性，因此用有限元模型可以验证解析解的正确性。

选用ABAQUS/Explicit程序,质量主体运用三维刚体单元，对悬臂板易损件运用可变形三维壳单元，在质量主体单元上建立一个参考点RP1，设定质量，并约束x,y,Rx,Ry,Rz方向的自由度，允许z方向运动。对于悬臂板的悬臂端，需要建立与刚体单元在x,y,及z方向的耦合约束。易损件单元运用S4R单元，刚体单元采用C3D4单元。输入矩形加速度脉冲作为系统的激励，即可得到悬臂梁易损件的动力学响应。

图5　易损件-质量主体有限元模型Fig.5 Finite element model of critical element and main body for product

4数值算例

易损件厚度h′=1 mm,宽度b=10 mm,长度为l=40 mm,密度ρ=8 g/cm3,弹性模量E=100 GPa，要求最大弯曲许用应力σa=80 MPa,4 kg的质量主体从高度1 m处跌落,运用解析方法和有限元模型分析悬臂梁易损件的动力学响应。

在给定跌落高度条件下，由式(16)得到：Am最大值为115 g(g为重力加速度，取9.8 m/s2)，只要加速度脉冲幅值不超过115 g,就能保证悬臂梁最大弯曲应力小于许用应力80 MPa。这里选取加速度峰值80、115 g两种情况，分别用一阶模态、二阶模态和三阶模态叠加，得到悬臂端处的动态弯曲应力如图6和7所示。如图6所示，在加速度幅值为80 g时，从图6(a)中截取应力脉冲，如图6(b)所示，运用三阶模态，分别得到悬臂梁在悬臂端处最大应力分别为54.9、58.3和58.6 MPa,取58.6为参考值，当取一阶模态时，相对偏差为6.31%，当取二阶模态时，相对偏差减小为0.51%。

图6　悬臂端处应力-时间曲线(Am=80 g)Fig.6 Response stress-time curves at the cantilevered end (Am=80 g)

如图7所示，在加速度幅值为115 g条件下，当取一阶模态求解悬臂梁在悬臂端的响应时，最大应力为70.3 MPa，取二阶模态时，其最大应力增加到75.1 MPa，取三阶模态，悬臂端处的最大应力增加到76.2 MPa。经过计算表明：取二阶模态求解悬臂梁在矩形脉冲激励的动态响应，可以保证得到较为精确的结果。

图7　悬臂端处应力-时间曲线(Am=115 g)Fig.7 Response stress-time curves at the cantilevered end (Am=115 g)

在有限元模型中分别输入如图8所示的加速度脉冲，经过收敛性分析，x方向取40个单元，由于y方向不是主要受力方向，取3个单元，得到悬臂端处的动态应力，如图9所示，并与上述解析解进行对比。由此可见，解析方法和有限元方法所得到的悬臂梁动态应力响应十分吻合，二者相对偏差在3%以内，由此说明，用二阶模态求解悬臂梁易损部件在矩形脉冲激励下的动态应力响应具有较高的精度，并进一步证明了解析方法的正确性。

图8　输入加速度脉冲曲线Fig.8 Input acceleration pulse curves

图9　悬臂端处应力响应的有限元结果与解析解的对比Fig.9 Finite element result and analytical solution for response stress at the cantilevered end

5结论

分析了悬臂梁式易损部件在矩形脉冲激励下的响应，在速度变化量一定时，得到易损件悬臂端处的最大应力响应与加速度脉冲幅值的关系，结果表明最大应力随幅值的增大而增大，但会逼近极限值。由有限元模型证实了悬臂梁应力响应解析解的可靠性；在矩形加速度脉冲激励下，运用二阶模态，所得到的悬臂梁在悬臂端处的动态应力具有较高的精度。本文的研究结果为蜂窝纸板缓冲作用下具有梁式易损件的失效行为与防护奠定了理论基础。

参 考 文 献

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Shock response and finite element analysis of critical components with cantilever beam type under action of a rectangular acceleration pulse

LUFu-de,XUChen-guang,GAODe,XUFeng(Ningbo Institute of Technology, Zhejiang University, Ningbo 315100, China)

Abstract:In order to analyze dynamic stress response of critical components with cantilever beam type under the excitation of a rectangular acceleration pulse, the relationship between the maximum stress at the cantilevered end and the rectangular acceleration pulse amplitude was deduced. The analysis results showed that the maximum stress increases with increase in the acceleration amplitude and approaches the limit value when the velocity change is constant. Finally, the analytical solution was verified with finite element results. It was shown that using only the first 2 orders of vibration modes can give a good estimation for the stress response of the components. The results provided a theoretical foundation for the protection of critical components with cantilever beam type when honeycomb paperboards were used as a cushioning material.

Key words:cantilever beam; critical component; finite element model; acceleration pulse

中图分类号:TB485;O322

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.05.031

通信作者高德 男，教授，1963年6月生

收稿日期：2014-10-28修改稿收到日期：2015-03-25

基金项目：国家自然科学基金(11402232)；宁波市自然科学基金(2015A610092)；浙江省自然科学基金(LY16A020004)；宁波市自然科学基金(2015A610100；2013A610135)

第一作者 卢富德 男，博士，1982年11月生

E-mail：gaode63@163.com