关于泊肃叶定律的适用范围和定律的修正的讨论

路 阳

(北京农学院基础教学部　北京　102206)



关于泊肃叶定律的适用范围和定律的修正的讨论

路 阳

(北京农学院基础教学部北京102206)

摘 要：通过对比两种不同的泊肃叶定律的推导方法，澄清了关于泊肃叶定律众说不一的适用范围问题.指明将泊肃叶公式中计算流量时的压强视为广义压强，则泊肃叶定律既适用于水平直圆管的流量计算，也适用于非水平直圆管的流量计算.并指出关于泊肃叶定律的修正中存在的问题.

关键词：泊肃叶定律适用范围修正

1引言

泊肃叶定律是大学物理学中流体力学部分的重点内容之一，它给出了不可压缩的粘性流体运动时的流量计算公式，故泊肃叶定律也称为泊肃叶公式.

关于泊肃叶定律的适用范围大多数大学物理教材[1～6]叙述为适用于水平直圆管中不可压缩的粘性流体的流量计算；一些文献[7,8]中更强调该定律只适用于水平直圆管的粘性流体的流量计算；也有文献[9,10]指出对泊肃叶公式进行修正，则可使该公式适用于水平和非水平直圆管的粘性流体的流量计算；但有的文献[11]认为泊肃叶公式既适用于水平直圆管也适用于非水平直圆管.

对于上述资料中提到的泊肃叶定律莫衷一是的适用范围问题，本文用该定律的不同的推导方法加以解释，给出了泊肃叶定律的明确的适用范围及其成立的条件.本文也对一些资料[12,13 ]中提到的泊肃叶公式的修正进行了讨论，指出其中存在的问题.

2对泊肃叶定律适用范围的讨论

关于泊肃叶定律的适用范围各种资料说法不一，这与定律的推导方法密切相关.下面本文分别采用不同的推导方法，将它们进行对比，给出明确的泊肃叶定律的适用范围.

图1

推导方法1：如图1所示，在水平放置的半径为R的直圆管中有不可压缩的粘性流体做层流运动.在管中选取与管同轴的长度为L，半径为r，厚度为dr的圆管状流体元，对该流体元进行受力分析.该流体元受到来自内层与流动方向相同的内摩擦力F和来自外层与流动方向相反的内摩擦力F+dF，设流体元的流速为v，则根据牛顿粘滞定律有

(1)

(2)

上式中η为流体的粘滞系数.设流体元两端的压强分别为p1和p2，该压强差对应的力为2πrdr(p1-p2).当流体元处于匀速流动状态时(一些教材将匀速流动叙述为稳定流动)，作用在流体元上的压强差对应的力等于摩擦力，流体元受到了平衡力的作用，即

(3)

将上式积分，得出

在r=0时，上式也成立，故c=0.则有

再同时对上式两边积分

得出

(4)

式(4)给出了水平直圆管中半径为r的流层的流动速度，由此式可以得出在半径为R，长度为L的水平直圆管中粘性流体做层流时的流量Q为

(5)

式(5)给出的流量表达式即泊肃叶公式.

式(5)是在水平管的模型下推导出来的，p1和p2表示长度为L的水平管两端受到的流体压强.根据该推导方法，一些教材和文献中将泊肃叶定律的适用范围界定为水平直圆管的粘性流体做层流时的流量计算公式.

推导方法2：图2给出的是半径为R的直圆管，其轴线与水平面成任意角.管中有不可压缩的粘性流体做层流运动.在管中选取与管同轴的半径为r，厚度为dr的单位长度的圆管状流体元，对该流体元流动中的功能关系进行分析.

图2

根据修正的伯努力方程[15]，流体元中单位体积的流体在始末位置处的总能量有如下关系

(6)

式(6)中角标1，2分别表示流体元的初始位置和末位置，p代表流体压强，ρ表示流体密度，v是流动速度，h是流体元相对重力势能零势能面的高度，w是单位体积的流体流动中损耗的能量.当管中流体做定常流动，且圆管状流体元各处粗细均匀，根据流体连续性原理，有v1=v2.式(6)可整理为

w=(p1-p2)+ρg(h1-h2)=

(p1+ρgh1)-(p2+ρgh2)

(7)

流体元在始末位置间损耗的总能量为

“啊，再有机会？这是诀别之语啊！琼儿要告诉羽弟：琼儿要与他生死与共。”最后一句是萧琼喊出来的。她含泪冲出了书屋。“琼儿不可以！”萧夫人追出书屋，可萧琼不顾母亲阻拦去马厩牵马也不备鞍就驭马冲出了萧家大院。

E=w2πrdr

设流体元在始末位置间流过的距离为L，该流体元受到来自内层与流动方向相同的内摩擦力

和来自外层与流动方向相反的内摩擦力F+dF，则摩擦力对流体元做的总功W为

(8)

根据功能原理，流体元在流动中损耗的总能量等于其流动中受到的摩擦力做的总功.于是有

E=W

(9)

式(9)整理为

对上式两边积分，考虑到r=0时的条件，得到

(10)

式(10)是直圆管中半径为r的流层的流动速度，由此式可以得出半径为R，长度为L的直圆管中粘性流体做层流时的流量Q为

(11)

将式(7)代入式(11)，得到

(12)

将式(12)中(p+ρgh)视为广义压强[14]，即流体压强与单位体积流体的重力势能之和，用符号p′表示广义压强，式(12)可改写为

(13)

由两种推导方法的对比可以看出，只要将泊肃叶定律中的压强项视为广义压强，则该定律既适用于水平状态的直圆管的流量计算也适用于非水平状态的直圆管的流量计算.

在泊肃叶定律的推导过程中，我们可以总结出该定律成立的条件：

(1)流体为不可压缩的粘性流体

满足此前提才能在推导中应用修正的伯努力方程.

(2)流体的运动形式为层流，且各流层为匀速运动

层流条件使推导时可以应用牛顿粘滞定律，各流层匀速运动满足了流层受力平衡和粗细均匀流管中连续性原理的要求.

(3)流管为无限长直圆管

无限长假设就是管的长度远大于管的内径，该假设可使流量计算中忽略边缘效应.直圆管假设保证流层形状为圆管形.

我们在应用泊肃叶公式时，必须满足它成立的条件.

3对泊肃叶定律修正的讨论

文献[12,13]指出在水平直圆管中推导泊肃叶公式时，是将管两端的流体压强之差与流动中的粘滞阻力互相抵消.他们认为此种做法忽略了流体在管中流动时的动能也是由于流体压强差的作用才获得的，因此克服粘滞阻力的有效流体压强差比管两端的流体压强之差要小一些.修正后的水平直圆管中的泊肃叶公式为

参 考 文 献

1梁路光，赵大源. 医用物理学. 北京：高等教育出版社，2004.47～48

2喀蔚波. 医用物理学(第2版). 北京：高等教育出版社，2008.51～52

3胡玉才，李玉侠. 大学物理学基本原理及生物效应. 北京：中国农业出版社，2004.29～30

4周静娴. 物理学. 北京：中国农业出版社，2002.10

5金仲辉，申兵辉. 大学物理简明教程. 北京：中国农业大学出版社，2007.15～16

6金仲辉，柴丽娜. 大学基础物理学. 北京：科学出版社，2010.57～58

7黄慰怀. 泊肃叶公式的适用条件. 中国大学教育，1992(1)

8阮萍. 对泊肃叶定律应用的讨论. 华夏医学，1999(3)：268～269

9秦任甲. 泊肃叶公式在非水平管中的形式及其在粘滞系数测定中的应用. 大学物理，1983(12)：1～3

10黄龙洙. 关于粘滞流体层流流量公式的讨论. 大学物理，1990(1)：42～43

11潘百年. 物理学(供药学专业用). 北京：中国医药科技出版社，2000.13～14

12杨述武. 普通物理实验(一.力学、热学部分)(第2版). 北京：高等教育出版社，1993.233

13巴哈提古丽·阿斯里别克，张里荃，孙迎春. 毛细管两端压强差对液体粘度测量的影响. 大学物理实验，2011(6)：12～13

14周光炯，严宗毅，许世雄，等. 流体力学(第2版)(下册). 北京：高等教育出版社，2000.54～55

Discussion on the Applicable Scope of Poiseuille Law and Its Modification

Lu Yang

(Basic Department of Beijing University of Agriculture, Beijing102206)

Abstract:This paper is aimed to define the applicable scope of Poiseuille law by using different derivation methods. When the pressure in Poiseuille formula is regarded as generalized pressure, Poiseuille law can be used to solve flow of viscous fluid in horizontal or non-horizontal straight round tube. The inappropriate modification of Poiseuille law is discussed in this paper.

Key words:Poiseuille law; the applicable scope; modification

(收稿日期：2015-10-13)