非线性振荡的周期态与混沌态

韦忠海，黄蕙玲，黄炳华

(广西大学 电气工程学院, 南宁 530004)



非线性振荡的周期态与混沌态

韦忠海，黄蕙玲，黄炳华

(广西大学 电气工程学院, 南宁 530004)

摘要:证明了具有多频激励源混频构成的一阶微分电路也能诞生混沌。一阶非自治动态电路,当仅加入一个激励源时,受迫振荡呈现周期态;当加入多个不同频激励源时,诞生的受迫振荡呈现混沌态;以三个不同频的激励源为例,证明混沌振荡的诞生,仅不过是振荡周期的充分延长。可以用谐波平衡原理与功率平衡定理求微分方程的主谐波解。求解结果的正确性可用仿真相图验证。

关键词:混频;混沌态;周期态;谐波解;空间曲线

通常可用非线性微分方程描写系统的动态过程,多数的方程无法求出其解析,只能画出其图形解又称相图,方程的解包含非振荡解与振荡解两种类型,前者指动态变量经暂态后是单调变化的,或趋于无穷或趋于稳定平衡点,没有持续振荡特性;后者又可分为周期态与混沌态,都是有界的。周期态表现为在仿真时间内,相轨线明显的在一个单循环或多循环的闭合轨上不断重复,混沌态表现为在仿真时间内,相轨线在一个有限的区域内不断环绕,而无法看到轨线的闭合与重复,延长仿真时间(要延长多少时间)会不会看到轨线的闭合,这是一个遥遥无期的答案。

混沌科学尚未诞生前,在两变量构成的坐标相平面上,画出相点连续运动的相轨迹,显示两个动态变量相互间的非线性函数关系,做为方程的求解结果。这在20世纪50年代就已经在非线性微分方程中广泛应用。例如范德堡振荡的相图是一个闭合的周期轨。

混沌相图是求不出解析表达式微分方程的图形解,是一条三维的空间曲线,这条曲线显然要比范德堡振荡形成的极限环复杂得多。它是三个动态变量相互关系的多元非线性函数,这就是混沌函数。人类依靠这个图形解推进了非线性动态科学的发展,这就是混沌科学。用三维空间表示三个动态变量的相互函数关系,其有关的定义,概念,推理和结论可以推广到多维的欧氏空间。

当今用数值仿真画出的相图,都是用有理数近似的代替无理数进行运算与仿真,因而严格的说,画出的相图全部是周期态。当非线性振荡的周期较短,在仿真时间内能完成一个周期,相图呈现闭合轨,振荡呈现周期态;当非线性振荡的周期较长,在仿真时间内不能完成一个周期,相图呈现非周期的混沌态。由此可见混沌是振荡周期的无限(或充分)延长,相图的轨线在显示的时段内,始终不重复。周期态与混沌态只不过是周期的长短。

1多谐波激励引起的混沌态

例1电路如图1所示。

图1　混频电路Fig.1　Mixing circuit

根据KCL与KVL可列式(1),电路参数如式(2),激励源参数如式(3),式中w0表示公共基频,是三个激励频率的最大公约数。电路中全部谐波成分均为w0的整数倍。

(1)

(2)

(3)如果电路的三个激励源全部置零,并设电容的起始电压u(0)=U0=1V,求零输入解画出相图2-a。

如果设电容起始电压u(0)=U0=0V,求零状态解,当E1m=10,E2m=0,E3m=0时,画相图2-b,当E1m=10,E2m=8.3,E3m=0时画相图2-c;当E1m=10,E2m=8.3,E3m=11时画相图2-d。

图2　例1的相图Fig.2　Phase diagram of example 1

(4)

由图2-b可见,当uF由单个正弦激励源组成时诞生周期轨。由图2-c与图2-d可以看出,随着加入激励源个数的增加,相图性状逐步趋于复杂而形成混沌。

2公共基频ω0高低和振荡形态的关系

激励值参数如式(3),设置较低的电压,是为了便于用实验验证,制作一个实验装置,即可以诞生周期态的信号,也可以诞生混沌态的信号,两者的区别仅仅不过是周期的长短。因为一般电子信号发生器的电压不宜过高。故三个激励电压按式(3)设置。只要三个激励频率公共基频由式(5)变化,相图形态随着按图3-a逐步变化为图3-f。

(5)

图3　公共基频ω0逐步减低,振荡由周期态演变成混沌态Fig.3　Public fundamehtal frequency steps down,oscillation changes from periodicstate to chaotic state is the abscissa,is the ordinate

由6个相图的变化可见,随公共基频ω0的减低,振荡周期延长,从开始是明显闭轨的图3-a,演变成混沌如图3-f.只要ω0<10 000,即相图均为充满整个显示范围。如果三个频率变为ω1=1 234 567;w2=2 211 111; ω3=3 322 111;ω0=1涂满整个显示范围的颜色会更为加深,轨线环绕程度更加稠密。

3算法误差严重影响相图性状

由以上论述可见,多频激励混频诞生的振荡,即可以是周期态也可以是混沌态,取决于各激励频率公共基频ω0的高低,当基频ω0很低,周期T很长时,在一定的仿真时间TsT的间隔内,相图表现为闭合的周期轨。

如例1电路,随激励频率的变化,可以有以下两种振荡性状。

第一种性状,如果取三个频率ω1=106,ω2=3×106,ω3=7×106则ω0=106,稳态振荡周期T=6.28μs在Ts=62.8μs时段内画出的相图如图4,其相轨线很明显形成闭合轨。说明当Ts>T+Th时相图是周期的,其中Th是进入稳态振荡前暂态过程的时间。

第二种性状,如果取三个激励频率ω1=1 234 567,ω2=3 322 111,ω3=7 654 321则公共基频ω0=1是三个激励频率的最大公约数,全体频率成份(包括组合频率ωeq)都是ω0的整数倍。因而这个周期函数的周期T=6.283 2s,在Ts=62.8μs的时段内画出的相图如图5显然是非周期,说明当Ts

当三个频率取ω1=(106+1),ω2=3×106,ω3=7×106则严格求其公共基频ω0=1,按严格精确的算法,其周期T=6.283 2s,属于第二种性状,但画出的相图保持如图4,这是由于算法误差引起的。其中ω1=(106+1)和ω1=106在数值仿真中被视为相等。因而相图画出的结果,和第一种性状完全相同。

图4　当T=6.28 μs时,Ts=62.8 μs的相图　　　　　　　图5　当T=6.28 μs时,Ts=62.8 μs的相图　　　　　　Fig.4　Phase diagram of Ts=6.28 μs　　　　　　　　　　Fig.5　Phase diagram of Ts=62.8 μs

4求三个主谐波解

4.1求三个主谐波的迭加解

电路图1如果三个激励源分别单独求各自的谐波解,用MATH程序small-1a/2b/3c.nb可求得

当仅有E1激励源时,E1r=6， E1x=8， E2r=E2x=E3r=E3x=0，得

u1=3.427 67cos(1 010 000 t)+

2.819 44sin(1 010 000 t)

(6a)

当仅有E2激励源时,E1r=E1x=0, E2r=20/3, E2x=5, E3r=E3x=0,得

u2=2.327 38cos(2 550 000 t)+

3.965 89sin(2 550 000 t)

(6b)

当仅有E3激励源时,E1r=E1x=E2r=E2x=0, E3r=6.6,E3x=8.8,得

u3=-3.431 95cos(3 150 000 t)-

3.412 38sin(3 150 000 t)

(6c)

三个解迭加的结果可得

(6d)

4.2求主谐波的耦合解.

首先求非线性支路的耦合关系,采用相量法用下标ν表示相量,下标m表示幅值, r表示实部x表示虚部,文中的虚数单位采用电工学的符号j,角频率记为ω=2πf。以变量u为例,u1表示u的ω1谐波分量的瞬时值,U1v表示u1的相量值,U1m表示幅值;又如非线性支路电流用in表示瞬时值,in1表示in的ω1谐波分量,In1v表示in1的相量,In1m表示幅值,In1r表示实功成份,In1x表示虚功成份,各值关系如式(7)。

u1=U1rsinω1t+U1xcosω1t,

(7)

电路图1包含三个不同频的谐波源,可以划分成三个分部网络。但三个谐波分部网络相互之间有非线性耦合,表现在ω1谐波分部网络的gn1eq包含有另两个谐波U2m,U3m的贡献,余类推。也就是说三个分部网络不能独立求解后迭加;而必须首先求耦合关系而后共同联合求耦合解。

(8)

u=u1+u2+u3=U1rsinω1t+U1xcosω1t+

(9)

(10)

压控非线性电导gn的伏安关系如式(8),电流in包含有众多谐波,其中imain代表主谐波,inon代表非主谐波。设gn的控制电压包含u1+u2+u3三个主谐波,其瞬时值如式(9),相量值和幅值如式(10)。以式(9)代入式(8),在本例证的计算中暂时忽略非主谐波inon的影响,设in≈imain,只考虑主谐波的计算。MATH程序coupl.nb解出三个谐波电流(in1,in2,in3)与三个谐波电压(u1,u2,u3)的关系如式(11)与式(12)。

(11)

(12)

三个主谐波的电流相量与同谐波电压相量同相位,其中比值gn1eq,gn2eq,gn3eq,称等效基波电导是实常数如式(11)和式(12),它体现三个分部网络是相互耦合关联,不是分成相互无关的三个孤立部分。要注意式(11)，式(12) 与k2无关,因为偶次项的展开对基波没有贡献。更要注意不同频率的谐波成份的相量不能相加。

(13)

(14)

三个激励源的相量值如式(13).用相量法列出三个分部网络节点电压U的三个电流平衡方程如式(14).其求解变量是相量U1v,U2v,U3v包含有6个未知实数,三个方程的实部与虚部必须各自等于零,因而可以建立6个实数平衡等式,解出6个未知实数,用MATH程序small-123.nb求其结果为:

(15)

4.3比较迭加解与耦合解的差别

比较式(6)的迭加解与式(15)的耦合解,两者的差别很微小,其结果几乎一致,有下列的原因。

因为只求三个主谐波,求解中没有包括主谐波的倍频与组合频率成份。三个主谐波相互之间的耦合量比较少。从这个观点考虑,这是一个弱非线性系统:况且偶次项展开对主谐波没有贡献,在求主谐波时偶次项没有发挥非线性的作用可忽略不计。三次项展开对主谐波的贡献,仅仅体现在非线性因子k3,而k3=1/106=k1/20;只有线性项因子k1的1/20。

三个激励值较小,如果激励量充分小,可视为在微变范围内电路是线性的,因而求迭加解会得到正确的结果。激励值参数设置较低的电压,是为了便于用实验验证非线性振荡的两种振荡形态,可以用同一实验装置实现。因为一般电子信号发生器电压不宜过高。故式(3)设置较低电压,但在这样低电压下,当三个激励频率公共基频的变化如式(5)变化时,相图3变化可印证有两种振荡形态。

再次还要看非线性元件gn在电路网络中的影响力。如果视gn和电容c以左部分是一个有源网络,gn和c是这个有源网络的端口负载,则当负载的导纳值增大时,负载电流增大端口电压即我们的求解变量u必然降低,这种影响力还要看并联电导gn在整个导纳中的比重。当控制电压变量U1m,U2m,U3m增大时,gn的等效电导值gn1eq,gn2eq,gn3eq增大,仅受三次项系数k3的影响,按本例提供的电路参数,由于k3较小,其他谐波成份通过耦合,促使待求谐波成份的基波电导值增大,从而引起求解变量u的降低量很微小,几乎可以忽略。例如ω2,ω3谐波成份通过耦合,促使ω1谐波成份的等效基波电导值gn1eq增大,从而引起求解变量u1的降低量很微小。

4.4改变电路参数

为了说明耦合解与迭加解有明显差别,可以改变电路参数,如果电路参数改成k3=8/105=k1,三个激励值各放大10倍,则由于考虑其他谐波对本谐波耦合量的增加,促使本谐波成份的基波电导值增大,从而引起求解变量u的降低量就非常明显。

令E1r=60, E1x=80, E2r=200/3, E2x=50;E3r=66, E3x=88,程序large-1a/2b/3c.nb求得:

当仅有E1激励源时,E1r=60, E1x=80, E2r=0, E2x=0, E3r=0, E3x=0,得

u1=22.44cos[1 010 000 t]+

17.87sin[1 010 000 t],

(16a)

当仅有E2激励源时,E1r=0, E1x=0, E2r=200/3, E2x=50, E3r=0, E3x=0,得

u2=15.87cos[2 550 000 t]+

24.67sin[2 550 000 t]

(16b)

当仅有E3激励源时,E1r=0, E1x=0, E2r=0, E2x=0, E3r=66, E3x=88,得

u3=-22.54cos[3 150 000 t]-

20.18sin[3 150 000 t],

(16c)

(16d)

式(16d)是没有考虑耦合影响,用迭加法求出的电压总量(假设各谐波的电压峰值有重迭的机会)。如果考虑耦合影响用程序large-123.nb求联合解。

当E1r=60, E1x=80, E2r=200/3, E2x=50, E3r=66, E3x=88,得

(17)

式(17)是考虑耦合影响,联解求出的电压总值(假设各谐波的电压峰值有重迭的机会)。比较式(16)与(17)可见,考虑耦合影响后,输出电压三个主谐波的总 值有明显减小。但电子实验室的信号发生器一般达不到这样高的电压,不便于实验验证。

5结论

(18)

(19)

含有激励源一阶微分方程的普遍形式表为式(18),式中uF是激励源组成的激励成份,可表为uF=uF(t)等效于一个非正弦的周期源;f(u)是仅含u的非线性函数,u可表为u=u(t)。用式(18)对照式(1)可得

uF=e1g1/c+e2g2/c-e3g1/c.

(20)

图3仿真解横座标代表求解变量,其最大值和主谐波解的式(6)或式(15)是大体近似的。

由图3可见,uF由三个激励源组成,当公共基频较高时诞生多循环的周期轨如图3a或图4。当公共基频较低时诞生混沌如图3f或图5。由此可见,只要混频激励组成的uF有足够多的谐波源,并且公共基频足够低, 就能很普遍的在一阶微分电路诞生混沌,那么二阶以上的微分电路产生混沌的可能就更加广泛了。 因而说,不久的将来,千千万万的混沌函数会相继涌现出来。当今出现的一些混沌系统是千万个混沌函数先行的例子。

参考文献：

[1]黄炳华，刘慧杰，梁永清.一阶微分电路构成的混沌[J].ModernPhysics,2014,4(5):86-99.

[2]黄炳华,梁永清,韦忠海.多激励源混频构成的混沌[J].ModernPhysics,2014,4(6):147-159.

[3]HUANGBinghua,LIGuangming,LIUHuijie.Powerbalancetheoremoffrequencydomainanditsapplication[J].JournalofModernPhysics,2014,5:1097-1108.

[4]HUANGBinghua,HEXiaoyang.Powerbalanceofmulti-harmoniccomponentsinnonlinearnetwork[J].JournalofModernPhysics,2014,5:1321-1331.

[5]HUANGBinghua,WEIYafen,HUANGYing.Describingchaosofcontinuoustimesystemusingboundedspacecurve[J].JournalofModernPhysics,2014,5:1489-1501.

[6]梁永清,黄炳华.非线性电路频域的功率平衡[J].太原理工大学学报,2014,45(3):328-333.

[7]冯久超,李广明.功率平衡理论在研究非线性电路与混沌中的进展[J].华南理工大学学报,2012,40(11):13-18.

[8]HUANGBinghua,HUANGXinmin,LIHui.Maincomponentsofharmonicsolutionsofnonlinearoscillations[J].ProcediaEngineeringVolume,2011,16:325-332.

[9]HUANGBinghua,YANGGuangsong,WEIYafen,etal.Harmonicanalysismethodbasedonpowerbalance[J].AppliedMechanicsandMaterials,2013:325-326.

[10]Mickens R E.Comments on the method of harmonic balance[J].Journal of Sound Vibration，1984，94(3):456-460.

[11]Atadan A S,Huseyin K.An intrinsic method of harmonic analysis for non-linear oscillations[J].Journal of Sound Vib,1984,95(4):525-530.

[12]冯朝文,蔡理,康强,等.一种新的三维自治混沌系统[J].物理学报,2011,60(3):030503.

[13]唐良端,李静,樊冰,等.新三维混沌系统及其电路仿真[J].物理学报,2011,58(2):785-793.

[14]许喆,刘崇新,杨韬.一种新型混沌系统的分析及其电路实现[J].物理学报,2010,59(1):131-139.

[15]王杰智,陈增强,袁著祉.一个新混沌系统及其性质研究[J].物理学报,2006,55(8):3956-3963.

[16]刘凌,苏燕辰,刘崇新.一个新混沌系统及其电路仿真实验[J].物理学报,2006,55(8): 3933-3937.

[17]YU Simin,QIU Shuisheng,LIN Qinghun.New results of study on generating multiple-scroll chaotic attractors[J].Science in China,2003,46(2):104-105.

[18]YU S M,TANG W K S,LU J,et al.Generating 2n-wing attractors from Lorenz-like systems[J].International Journal of Circuit heolications,2010,38(3):243-258.

(编辑：刘笑达)

Periodic and Chaotic Status of Nonlinear Oscillations

WEI Zhonghai，HUANG Huiling，HUANG Binghua

(ElectricalEngineeringSchoolofGuangxiUniversity,NanningGuangxi530004，China)

Abstract:This paper proves that the first order differential circuit which is constituted by mixing of multi-excitation source with different frequency can also produce chaos. Regarding the first order non-autonomous circuits,the forced oscillation shows periodic status when only one excitation source is added.The forced oscillations display non-periodic status when multi-excitation source are added. Taking three excitation source as example, this paper proves that the births of chaotic oscillations are from sufficient extension of oscillation cycle. The main harmonic components in the differential equations can be solved by using the principle of the harmonics balance and power balance theorem.The correctness of solving results can be verified by phase portrait plotted by simulation.

Key words:mixing;chaotic status;periodic status;harmonic solution;space curve

中图分类号:TN711.4;TN752

文献标识码:A

DOI：10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.01.010

作者简介：韦忠海(1964-)，男,广西平果人,实验师,主要从事电力电子及运动控制研究,(E-mail)wshqfy@gxu.edu.cn通讯作者：黄炳华，教授，主要从事电路与系统研究,(E-mail)gxuhbh@163.com

基金项目：国家自然科学基金资助项目：基于非线性微分方程基础上的功率平衡的研究(60662001)

收稿日期：2015-05-26

文章编号:1007-9432(2016)01-0046-07