用GeoGebra探索阿基米德抛物线弓形面积

李忻桐　吴华

摘 要： 在信息技术、知识和探究性学习的框架下，本文从信息技术诠释数学的视角出发，借助Geo Gebra软件对数学问题进行探索，通过电子数据表格对探究过程中每一步变化的记录、分析、测量、猜想研究阿基米德抛物线的弓形面积。

关键词： Geo Gebra 抛物线弓形面积 微积分

动态几何软件作为教学发展的推动者，可应用于创新型、问题解决型、开放型及一些非常规型数学问题的探究。其在探索过程中可以记录关键要素的发展过程，辅助学生思维，通过探索发现规律，在动态下观察数学现象，发现结论，及时验证。《数学新课程标准》提到：信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容及教学方式产生很大影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术。因此，数学教学内容必然会随着信息技术与课程的整合进程和需要而呈现多样化的发展状态[1]。

阿基米德在《抛物线的求积》中用两种方法证明了抛物线弓形的面积等于顶点与弦所构成三角形面积的三分之四这一结论，一种是穷竭法，另一种是杠杆原理的力学方法[2]。之后很多人用不同方法证明过这一结论，但都由于方法复杂而不适合课堂教学。本文在阿基米德原有命题不变的前提下，利用阿基米德的方法用三角形不断“穷竭”弓形面积，借助Geo Gebra软件对阿基米德抛物线的弓形面积进行探究。

一、动态几何软件介入探索抛物线求积问题

（一）创设情境，提出问题。

阿基米德抛物线的求积问题是经典性历史命题，在学生学习了极限和等差数列之后，微积分初步之前，借助Geo Gebra软件在问题情境中通过运用已学过的知识让学生了解微分积分的实际背景，直观体会微分积分基本思想，帮助学生理解微分积分的概念，激发学生对后续微积分知识学习的兴趣。

（二）利用Geo Gebra软件探究问题。

在学生目前所学习的范围内并没有接触到求曲线面积的公式，以阿基米德“穷竭法”的思想为探究基础，引用文[3]中的数学例子。在Geo Gebra软件中绘制任意以C为顶点，AB为弦的抛物线，此时△ABC面积在A1中显示，即a=15.625，如图1所示。

通过Geo Gebra软件给出的猜想结合等比数列求和公式以及极限思想，得到与阿基米德相同的结论：抛物线弓形的面积等于顶点与弦所构成三角形面积的四分之三。回顾探索过程，先将不可求的弓形面积逐渐用小的可求的三角形填满，再将这些小的可求的三角形面积累加进行求和。这其实就是微积分的思想，将不可求量拆分成小的可求量（微分思想），再将这些小的可求量累加进行求和（积分思想）。可见就在牛顿和莱布尼茨争论谁先创造了微积分时，阿基米德已早他们两千多年就有了微积分思想的萌芽。只是那时阿基米德还没有极限的思想，他并不认为当n趋近于“无穷大”时，内接多边形的面积可以等于弓形的面积。在阿基米德看来，这二者之间的面积差是永远存在的，只不过它可以“任意小”，所以阿基米德避开了这个问题，使用穷竭和反证的方法得到结论。

二、教学反思

通过对阿基米德“抛物线求积问题”的探究，发现动态几何软件在数学教学中有以下优势。

（一）精确性与美观性。

如果在传统教学环境中不借助于动态几何软件本节课是很难完成的，教师手动在黑板上绘图并不精准且影响美观，而动态几何软件以精准美观的制图带给学生的直观视觉更有助于对问题本身的探究，并提高探究的准确性。

（二）实用性与省时性。

Geo Gebra软件同时具有代数问题几何化和几何问题代数化的功能，能在动态过程中保持图形性质并能实时显示出图形的数量关系。Geo Gebra软件有强大的数形结合功能，可以同时结合几何、代数、电子数据表格对探索中的每一步变化进行记录，而电子数据表格代替了冗长的手工推倒过程，在探索过程中把学生的兴趣集中在问题本身而不是淹没在繁杂的计算中。同时传统教学中的板书，通过动态几何软件的介入都可以在备课环节中完成，大大节约课堂时间。

（三）引起教学方式的变革。

动态几何环境推动了探究式学习的发展，给教师和学生都提供了活动平台，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”过程。数学中的不少内容是抽象的，譬如微积分概念的理解，用传统的教学方法很难解释清楚，而用动态几何软件，学生一看就能观察出动态逼近的数学本质。这样，抽象的内容变得更为形象、更为直观，若没有计算机软件的介入，类似内容的处理只能是说教式的[4]。这样直观的教学可以提高学生学习数学的兴趣，充分发挥其主动性。所谓“工欲善其事、必先利其器”，恰当使用动态几何软件进行教学会达到事半功倍的效果，也会大大提高教学质量。

参考文献：

[1]尚晓青.论信息技术与数学教学整合的过程[J].电化教育研究，2013（1）：86.

[2]T.L.希思.朱恩宽，李文铭，译.阿基米德全集[M].陕西科学技术出版社，1998.

[3]Gunhan Caglayan，Exploring Archimedes Quadrature of Parabola with GeoGebra Snapshots[J].Tech Know Learn，2014，101-105.

[4]张景中.三款数学教育软件的比较与设计思想分析[J].中国电化教育，2010（1）：107.